《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第31讲 必要性探路法（解析版）

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第31 讲 必要性探路法
1．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数 与 有公共点，求 的取值范围；
（2）若不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
【分析】
（1）由 ，可得 ，函数 与 有公共点，即 有解，设 ，
求导数，求出函数 的值域即可.
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，当 时， 成立，解得 ，
故 再验证 时，不等式成立即可得出答案.
【详解】
解：（1）令 ，即 ，则 ，
函数 与 有公共点，即 有解.
令 ，则 .
令 ，
当 时， ，所以 ，当 时， ，所以
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 且当 时，
所以 .
（2）不等式 恒成立，即 恒成立.
则 时， 成立，解得 ，
由题意求满足条件的整数 最小值，下面验证 是否满足题意.
当 时，令 ，且 在 上单调递增.
又 ，可知存在唯一的正数 ，使得 ，
即 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 ，
即当 时，不等式 成立.
故整数 的最小值为
【点睛】
关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是
先根据 时，不等式 成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证 满足条件，
从而得出答案.属于中档题.
2．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知 ， ，
．
（1）若 ，证明： ；
（2）对任意 都有 ，求整数 的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点 ，使得 ， 在 上恒成立上可以证明
在定义域上的单调性，可知 ，便可证明结论.
（2）先判断整数 可知 ，接着证明
在区间 上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设 ， ，则 ．
因为 ，且
则 在 ，单调递减， ，
所以存在唯一零点 ，使得
则 在 时单调递增，在 上单调递减
又 ，
所以 在 上恒成立上，所以 在 单调递增
则 ，即 ，
所以 ．
（2）因为对任意的 ，
即 恒成立
令 ，则
由（1）知 ，所以
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