《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第35讲 函数与数列不等式问题（解析版）

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第35 讲 函数与数列不等式问题
1．已知函数 ，其中 为实常数．
（1）若函数 定义域内恒成立，求 的取值范围；
（2）证明：当 时， ；
（3）求证： ．
【解答】解：（1）由题意
则
即 在 ， 上单调递增，
，
， ；
（2）即证 ， ， ，
设 ，
在 ， 上单调递减，
，
， ， ；
（3）利用 ， ， ，
令 ，得：
，
，
，
，
累加得： ，
当 时， ；
2．证明： ．
【解答】证明：
．
．
令 ，
当 ， ，
，在 ， 上递增， ，
．
综上： ．
3．已知 ， 为自然对数的底数）．
（1）求证： 恒成立；
（2）设 是正整数，对任意正整数 ， ，求 的最小值．
【解答】解：（1）令 ， ， ，
则 ，当 ， ； 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，即 恒成立；
所以 ；
（2）由（1）令 ，可知 ，由不等式性质得
．
所以 的最小值为 2．
4．已知函数 ， ，（其中 ， 为自然对数的底数， ．
（1）令 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
由 对任意的 恒成立，即 ，
由 ，
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