《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结（解析版）
第15 讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结
参考答案与试题解析
一．解答题（共 19 小题）
1．如图，已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，
点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧．记
， 的面积为 ， ．
（1）若直线 的斜率为 ，求以线段 为直径的圆的面积；
（2）求 的最小值及此时点 的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ，
由已知设直线 的方程为 ，
与抛物线 联立可得， ，所以 ，
则线段 ，则以线段 为直径的圆的半径为 8，故圆的面积为 ；
（2）设 ， ， ， ， ， ，重心 ， ，
令 ， ，则 ，由直线 过点 ，故直线 的方程为 ，代入 ，可得
，
所以 ，即 ，所以 ，
又由于 ， ，重心 在 轴上，故 ，
所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，可得 ， ，
由于点 在焦点 的右侧，故 ，
故 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ，此时 ．
2．如图，已知点 为抛物线 的焦点．过点 的直线交抛物线于 ， 两点，点 在
抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 的右侧．记 ，
的面积分别为 ， ．
（Ⅰ）求 的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求 的最小值及此时点 的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得： ，
，
抛物线的准线方程为 ；
（Ⅱ）设 ， ， ， ， ， ，重心 ， ，
令 ， ，则 ，
由于直线 过 ，故直线 的方程为 ，
代入 ，得： ，
，即 ， ， ，
又 ， ，重心在 轴上，
，
， ， ， ，
直线 的方程为 ，得 ， ，
在焦点 的右侧， ，
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