《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第21讲向量的转换与计算（原卷版）

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第21 讲向量的转换与计算

一．选择题（共 1小题）

1．是抛物线的焦点，过作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，

，交抛物线于点，，则的最小值是　　

A．8 B．C．16 D．

二．解答题（共 14 小题）

2．已知抛物线的准线为，焦点为，的同心在轴的正半轴上，且与轴相切，

过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且．

（Ⅰ）求和抛物线的方程；

（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的相交线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线

相交于点、，求的最小值．

3．已知抛物线过点．

（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线

的方程，若不存在，说明理由．

（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，

与抛物线相交于点，，求的最小值．

4．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为 2，过点作两条

斜率存在且互相垂直的直线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、．

（1）求抛物线的方程；

（2）求的最小值．

5．如图，已知直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，交于

点，，抛物线的焦点为．

（1）求的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，

，设与曲线相交于点，，与曲线相交于点，，求的最小值．

6．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于 1．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交

于点，，求的最小值．

7．已知椭圆的方程为，为左焦点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与椭圆相交于点，．与椭圆相交

于点．，求的最小值．

8．设定点，动圆过点且与直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交

于点，，求的最小值．

9．已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点

恰好是椭圆的右顶点．

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线、，交抛物线于点、，交抛物线于点

、，求的最小值．

10．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差

数列．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于，两点的直线，，是否存

在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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