《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第24讲 定值问题（解析版）

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第24 讲 定值问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 19 小题）
1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线 过点 ，且点 在 轴上的射影恰为该双
曲线的一个焦点
（Ⅰ）求双曲线 的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆 的一个焦点 作与 轴不垂直的任意直线 ”交椭圆于 、 两点，线
段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 为定值，且定值是 ”．命题中涉及了这么几个要素：给定
的圆锥曲线 ，过该圆锥曲线焦点 的弦 ， 的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点 ， 的
长度与 、 两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线 的类似的正确命题，并加以
证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必
证明）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设双曲线 的方程为
点 ，且点 在 轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点
双曲线 的一个焦点为 可得 的另一个焦点为 （1分）
由 （3分）
，又 ，所以 （4分）
双曲线的方程为
（Ⅱ）关于抛物线 的类似命题为：过抛物线 的焦点 作与 轴不垂直的任意直线 交抛物线
于点 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 为定值，定值是 2（6分）
证明如下：由于直线与 轴不垂直，可设直线 的方程为
联立方程 可得
由题意 与 有两个交点 ， ，则 ，△
设 ， ， ，
则 ， ，
线段 的中点 的坐标 （8分）
的垂直平分线 的方程为
令 可得， 即 ，
（9分）
（10 分）
（Ⅲ）过圆锥曲线 的焦点 作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线 交于 ， 两点，线段 的垂
直平分线交焦点所在的对称轴于点 ，则 为定值，定值是 （其中 是圆锥曲线 的离心率）
（13 分）
（法二）由题意可设双曲线 的方程为 （1分）
由已知可得 （3分）
解可得，
双曲线的方程为 （4分）
（Ⅱ），（Ⅲ）同法一
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆 过点 ，且点 在 轴的射影恰为
该椭圆的一个焦点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 的一个焦点 作与 轴不垂直的任意直线 交椭圆于 、 两点，线段 的
垂直平分线交 轴于点 ，则 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明
理由．
【解答】解： 中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆 过点 ，
且点 在 轴的射影恰为该椭圆的一个焦点 ，
设椭圆方程为 ，
把 代入，得： ，
整理，得 ，
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