《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题07 平面解析几何（选填题）（教师版）
专题 07 平面解析几何（选填题）
1．【2022 年全国甲卷】已知椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的离心率为
1
3
，
A1, A2
分别为 C
的左、右顶点，B为C的上顶点．若
B A
→
1⋅B A
→
2=−1
，则 C的方程为（+++++++）
A．
x2
18 +y2
16 =1
B．
x2
9+y2
8=1
C．
x2
3+y2
2=1
D．
x2
2+y2=1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及
⃑
B A1⋅
⃑
B A2=−1
，解得关于
a2, b2
的等量关系式，即可得解.
【详解】
解：因为离心率
e=c
a=❑
√
1−b2
a2=1
3
，解得
b2
a2=8
9
，
b2=8
9a2
，
A1, A2
分别为 C的左右顶点，则
A1(−a , 0), A2(a , 0)
，
B为上顶点，所以
B(0, b)
.
所以
⃑
B A1=(−a ,−b),
⃑
B A2=(a ,−b)
，因为
⃑
B A1⋅
⃑
B A2=−1
所以
−a2+b2=−1
，将
b2=8
9a2
代入，解得
a2=9, b2=8
，
故椭圆的方程为
x2
9+y2
8=1
.
故选：B.
2．【2022 年全国甲卷】椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的左顶点为 A，点 P，Q均在 C上，
且关于 y轴对称．若直线
AP, AQ
的斜率之积为
1
4
，则 C的离心率为（+++++++）
A．
❑
√
3
2
B．
❑
√
2
2
C．
1
2
D．
1
3
【答案】A
【解析】
【分析】
设
P
(
x1, y1
)
，则
Q
(
−x1, y1
)
，根据斜率公式结合题意可得
y1❑2
−x1❑2+a2=1
4
，再根据
x1❑2
a2+y1❑2
b2=1
，将
y1
用
x1
表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】
解：
A
(
−a , 0
)
，
设
P
(
x1, y1
)
，则
Q
(
−x1, y1
)
，
则
kAP =y1
x1+a, k AQ=y1
−x1+a
，
故
kAP ⋅kAQ =y1
x1+a⋅y1
−x1+a=y1❑2
−x1❑2+a2=1
4
，
又
x1❑2
a2+y1❑2
b2=1
，则
y1❑2=b2
(
a2−x1❑2
)
a2
，
所以
b2
(
a2−x1❑2
)
a2
−x1❑2+a2=1
4
，即
b2
a2=1
4
，
所以椭圆
C
的离心率
e=c
a=❑
√
1−b2
a2=❑
√
3
2
.
故选：A.
3．【2022 年全国乙卷】设 F为抛物线
C:y2=4x
的焦点，点 A在C上，点
B(3,0)
，若
|
AF
|
=
|
BF
|
，则
|
AB
|
=¿
（+++++++）
A．2 B．
2❑
√
2
C．3 D．
3❑
√
2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点
A
的横坐标，进而求得点
A
坐标，
即可得到答案.
【详解】
由题意得，
F
(
1,0
)
，则
|
AF
|
=
|
BF
|
=2
，
即点
A
到准线
x=−1
的距离为 2，所以点
A
的横坐标为
−1+2=1
，
不妨设点
A
在
x
轴上方，代入得，
A
(
1,2
)
，
所以
|
AB
|
=❑
√
(
3−1
)
2+
(
0−2
)
2=2❑
√
2
.
故选：B
4．【2022 年全国乙卷】双曲线 C的两个焦点为
F1, F2
，以 C的实轴为直径的圆记为 D，
过
F1
作D的切线与 C的两支交于 M，N两点，且
cos ∠F1N F2=3
5
，则 C的离心率为
（+++++++）
A．
❑
√
5
2
B．
3
2
C．
❑
√
13
2
D．
❑
√
17
2
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意不妨设双曲线焦点在
x
轴，设过
F1
作圆
D
的切线切点为
G
，可判断
N
在双曲线的右支，
设
∠F1N F2=α
，
∠F2F1N=β
，即可求出
sin α
，
sin β
，
cos β
，在
△F2F1N
中由
sin ∠F1F2N=sin
(
α+β
)
求出
sin ∠F1F2N
，再由正弦定理求出
|
N F1
|
，
|
N F2
|
，最后
根据双曲线的定义得到
2b=3a
，即可得解；
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在
x
轴，设过
F1
作圆
D
的切线切点为
G
，
所以
OG ⊥N F1
，因为
cos ∠F1N F2=3
5>0
，所以
N
在双曲线的右支，
所以
|
OG
|
=a
，
|
O F1
|
=c
，
|
G F1
|
=b
，设
∠F1N F2=α
，
∠F2F1N=β
，
由
cos ∠F1N F2=3
5
，即
cos α=3
5
，则
sin α=4
5
，
sin β=a
c
，
cos β=b
c
，
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