-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题12 函数模型及其应用

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专题 12 函数模型及其应用

【考点总结】

1．几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型[来源:学|科|网Z|X|X|K] f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0 且a≠1，

b≠0)

对数函数模型 f(x)＝blogax＋c

(a，b，c为常数，a>0 且a≠1，b≠0)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

2.三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的单调

性增函数增函数增函数

增长速度越来越快越来越慢相对平稳[来源:Z+xx+k.Com]

图象的变化

随x值增大，图象与

轴接近平行

随x值增大，图象与

轴接近平行随n值变化而不同

【常用结论】

1．“对勾”函数

形如 f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．

(2)当x>0 时，x＝时取最小值 2，

当x<0 时，x＝－时取最大值－2.

2．解决函数应用问题应注意的 3个易误点

(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如

“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．

(2)解应用题建模后一定要注意定义域．

(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．

【易错总结】

(1)对三种函数增长速度的理解不深致错；

(2)建立函数模型出错；

(3)分段函数模型的分并把握不准．

例1．已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选

项中正确的是　(　　)

A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)

C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)

解析：选 B.由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为 g(x)>f(x)>h(x)．故选 B.

例2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x万件时的生产成本为 C

(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_____

_万件．

解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．

答案：18

例3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.5 元/km，如果超过 100

km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行程千米数 x(km)之间的函数关系式是____

____．

解析：由题意可得

y＝

答案：y＝

【考点解析】

【考点】一、应用所给函数模型解决实际问题

例1、(1)某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p元，销售量为 Q件，

则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170 p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝

销售收入－进货支出)(　　)

A．30 元　　　　　　　 B．60 元

C．28 000 元 D．23 000 元

(2)拟定甲、乙两地通话 m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中 m＞0，[m]是不

超过 m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为________元．

【解析】　(1)设毛利润为 L(p)元，则由题意知

L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)

＝(8 300－170p－p2)(p－20)

＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，

所以 L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，解得 p＝30 或p＝－130(舍去)．

当p∈(0，30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30 时取得极大值，即最大值，

且最大值为 L(30)＝23 000.

(2)因为 m＝6.5，所以[m]＝6，

则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

【答案】　(1)D　(2)4.24

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