-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题18 任意角和弧度制及任意角的三角函数

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专题 18 任意角和弧度制及任意角的三角函数

【考点总结】

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈

Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作 rad.

(2)公式：

角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)

角度与弧度的换算 ①1°＝rad；② 1 rad＝°

弧长公式 l＝|α|r

扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2

3.任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠

0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x轴上，余弦线的起点

都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α的正弦线、余弦线和正

切线．

【常用结论】

1．一个口诀

三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．一个结论

若α∈，则tan α>α>sin α.

3．三角函数定义的推广

设点 P(x，y)是角 α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.

4．象限角

5．轴线角

【易错总结】

(1)终边相同的角理解出错；

(2)三角函数符号记忆不准；

(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．

例1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A．2kπ－45°(k∈Z)　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)

解析：选C.与的终边相同的角可以写成 2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有 C正

确．故选 C.

例2．若 sin α<0，且 tan α>0，则 α是第____象限角．

解析：由sin α<0 知α的终边在第三、第四象限或 y轴的负半轴上；由 tan α>0 知α的终边在第一或第

三象限，故α是第三象限角．

答案：三

例3．已知角 α的终边在直线 y＝－x上，且 cos α<0，则 tan α＝________．

解析：如图，

由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点 P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得 tan α

＝＝＝－1.

答案：－1

【考点解析】

【考点】一、象限角及终边相同的角

例1．给出下列四个命题：

①－是第二象限角；

② 是第三象限角；

③－400°是第四象限角；

④－315°是第一象限角．

其中正确命题的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．4

解析：选C.－是第三象限角，故①错误；

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