-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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专题 20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【考点总结】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β．

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β．

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β．

S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．

T(α＋β)：tan(α＋β)＝

T(α－β)：tan(α－β)＝

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．

T2α：tan 2α＝

【常用结论】

记准四个必备结论

(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan αtan β)．

(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中 sin φ＝，cos φ＝)．

【易错总结】

(1)不会逆用公式，找不到思路；

(2)不会合理配角出错；

(3)忽视角的范围用错公式．

例1．化简：＝________．

解析：原式＝

＝＝＝.

答案：

例2．若 tan α＝3，tan(α－β)＝2，则 tan β＝________．

解析：tan β＝tan[α－(α－β)]

＝

＝＝.

答案：

例3．已知 θ∈，且 sin＝，则 tan 2θ＝________．

解析：法一：sin＝，

得sin θ－cos θ＝，①

θ∈，①平方得 2sin θcos θ＝，

可求得 sin θ＋cos θ＝，

所以 sin θ＝，cos θ＝，

所以 tan θ＝，tan 2θ＝＝－.

法二：因为 θ∈且sin＝，

所以 cos＝，

所以 tan＝＝，

所以 tan θ＝.

故tan 2θ＝＝－.

答案：－

【考点解析】

【考点】一、和差公式的直接应用

例1．已知 sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则 tan(α－β)的值为(　　)

A．－　　　　　　　 B．

C. D．－

解析：选A.因为 sin α＝，α∈，

所以 cos α＝－＝－，

所以 tan α＝＝－.

因为 tan(π－β)＝＝－tan β，所以 tan β＝－，

则tan(α－β)＝＝－.

例2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝(　　)

A. B．

C. D．

解析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为 α∈，

所以 cos α＝，所以 2sin α＝1－sin2 α，解得 sin α＝，故选 B.

例3．已知 α∈，sin α＝.

(1)求sin 的值；

(2)求cos 的值．

解：(1)因为 α∈，sin α＝，

所以 cos α＝－＝－，

故sin＝sin cos α＋cos sin α

＝×＋×＝－.

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