-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题24 正弦定理和余弦定理(基础训练)(解析版)

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专题 24 正弦定理和余弦定理

[基础题组练]

1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 a＝b，A－B＝，则角 C

＝(　　)

A.　　　　　　　 B．

C. D．

解析：选B.因为在△ABC 中，A－B＝，所以 A＝B＋，所以 sin A＝sin＝cos B，因为 a＝b，所以由正弦

定理得 sin A＝sin B，所以 cos B＝sin B，所以 tan B＝，因为 B∈(0，π)，所以 B＝，所以 C＝π－－＝，故

选B.

2．(2020·湖南怀化一模)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，△ABC 的面积为 S，若 2S＝(a＋

b)2－c2，则 tan C的值是(　　)

A. B．

C．－ D．－

解析：选C.因为 S＝absin C，c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以由 2S＝(a＋b)2－c2，

可得 absin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab·cos C)，

整理得 sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，

所以＝4，＝4，化简得 3tan2C＋4tan C＝0，

因为 C∈(0，π)，

所以 tan C＝－，故选 C.

3．设△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为(　

)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

解析：选B.因为 bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，所以 sin(B

＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sin A且sin A≠0，所以 sin A＝1，所以 A＝，所以△ABC 为直角三角形，故选 B.

4．在△ABC 中，角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c.若角 A，B，C依次成等差数列，且 a＝1，b＝，

则S△ABC＝(　　)

A. B．

C. D．2

解析：选C.因为 A，B，C依次成等差数列，所以 B＝60°，所以由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，

得c＝2，所以由正弦定理得 S△ABC＝acsin B＝，故选 C.

5．在△ABC 中，已知 a，b，c分别为角 A，B，C的对边且∠A＝60°，若 S△ABC＝且 2sin B＝3sin C，则△A

BC 的周长等于(　　)

A．5＋ B．12

C．10＋ D．5＋2

解析：选A.在△ABC 中，∠A＝60°.因为 2sin B＝3sin C，故由正弦定理可得 2b＝3c，再由 S△ABC＝＝bc·s

in A，可得 bc＝6，所以 b＝3，c＝2.由余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，所以 a＝，故△ABC 的周长

为a＋b＋c＝5＋，故选 A.

6．(2020·河北衡水模拟)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c且有 a＝1，sin Acos C＋(sin C＋

b)cos A＝0，则 A＝________．

解析：由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，所以 sin (A＋C)＝－bc

os A，即sin B＝－bcos A，又＝，所以＝＝－，从而＝－⇒tan A＝－，又因为 0<A<π，所以 A＝.

答案：

7．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC 的

面积为________．

解析：法一：因为 a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2

c×ccos ，得c＝2，所以 a＝4，所以△ABC 的面积 S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.

法二：因为 a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos

，得c＝2，所以 a＝4，所以 a2＝b2＋c2，所以 A＝，所以△ABC 的面积 S＝×2×6＝6.

答案：6

8．在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 acos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝________．

解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得 sin AcosB－sin C－＝0.因为 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋c

os Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以 cos A＝－，即A＝.由余弦定理得 a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc

＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.

答案：2

9．(2020·河南郑州一模)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 S，且满足 si

n B＝.

(1)求sin Asin C；

(2)若4cos Acos C＝3，b＝，求△ABC 的周长．

解：(1)因为△ABC 的面积为 S＝acsin B，sin B＝，

所以 4××sin B＝b2，所以 ac＝，

所以由正弦定理可得 sin Asin C＝＝.

(2)因为 4cos Acos C＝3，sin Asin C＝，

所以 cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝－＝－，

因为 b＝，所以 ac＝＝＝＝8，

所以由余弦定理可得 15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝－12，

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