-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题24 正弦定理和余弦定理

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专题 24 正弦定理和余弦定理

【考点总结】

1．正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容

＝＝＝2R

(R为△ABC 外接圆半径)

a2＝b2＋c2－2bccos_A；

b2＝c2＋a2－2cacos_B；

c2＝a2＋b2－2abcos_C

变形形式

a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

sin A＝，sin B＝，sin C＝；

a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

＝

cos A＝；

cos B＝；

cos C＝

2.三角形解的判断

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝ah(h表示边 a上的高)．

(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C.

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

【常用结论】

1．三角形内角和定理

在△ABC 中，A＋B＋C＝π；

变形：＝－.

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；

(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sin ＝cos ；

(4)cos ＝sin .

3．三角形中的射影定理

在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A；

c＝bcos A＋acos B．

【易错总结】

(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错；

(2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错；

(3)判断三角形形状时弄错．

例1．在△ABC 中，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)

A．有一解

B．有两解

C．无解

D．有解但解的个数不确定

解析：选C.由正弦定理得＝，

所以 sin B＝＝＝>1.

所以角 B不存在，即满足条件的三角形不存在．

例2．在△ABC 中，若 sin A＝sin B，则 A，B的关系为________；若 sin A>sin B，则 A，B的关系为______

__．

解析：sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B；

sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.

答案：A＝B　A>B

例3．在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．

解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin BcosB，

即sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

答案：等腰三角形或直角三角形

【考点解析】

【考点】一、利用正、余弦定理求解三角形

角度一　求边长

例1、(一题多解)在△ABC 中，内角 A，B，C的对边 a，b，c成公差为 2的等差数列，C＝120°.

(1)求边长 a；

(2)求AB 边上的高 CD 的长．

【解】　(1)由题意得 b＝a＋2，c＝a＋4，

由余弦定理 cos C＝得 cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以 a＝3或a＝－2(舍去)，所以 a＝3.

(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，

由三角形的面积公式得

absin ∠ACB＝c×CD，

所以 CD＝＝＝，

即AB 边上的高 CD＝.

法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，

由正弦定理得＝＝，

即sin A＝，

在Rt△ACD 中，CD＝ACsin A＝5×＝，

即AB 边上的高 CD＝.

角度二　求角度

例2、(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bs

in C．　

(1)求A；

(2)若a＋b＝2c，求 sin C.

【解】　(1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得 b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得 cos A＝＝.

因为 0°＜A＜180°，所以 A＝60°.

(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得 sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，

可得 cos(C＋60°)＝－.

由于 0°＜C＜120°，所以 sin(C＋60°)＝，故

sin C＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°

＝.

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