2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第4讲 三角形面积问题（原卷版）
第4讲 三角形面积问题
一、解答题
1．已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ， ，
且,为椭圆上异于 ， 的点， 和 的斜率之积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆中心， ， 是椭圆上异于顶点的两个动点，求 面积的最大值．
2．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过椭圆 的左焦点和上顶点的直线与圆
相切.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 与原点 关于直线 对称，试求四边形
的面积的最大值.
3．已知椭圆 的四个顶点围成的菱形的面积为 ，椭圆的一个焦点为圆
的圆心．
(1)求椭圆的方程；
(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线 OM，ON 的斜率分别为 ，当 时，△MON 的面积是
否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．
4．已知椭圆 C： （a＞b＞0）过点 ，且它的焦距是短轴长的 倍.
（1）求椭圆 C的方程.
（2）若 A，B是椭圆 C上的两个动点（A，B两点不关于 x轴对称），O为坐标原点，OA，OB 的斜率分别
为k1，k2，问是否存在非零常数 λ，使 k1k2＝λ时， 的面积 S为定值？若存在，求 λ的值；若不存在，
请说明理由.
5．已知 分别是椭圆 ： 的左右焦点，点 在椭圆 上，且抛物
线 的焦点是椭圆 的一个焦点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作不与 轴重合的直线 ，设 与圆 相交于 两点，且与椭圆 相交于
两点，当 时，求 的面积.
6．已知 F1，F2是椭圆 C： （a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 x+y=1 被椭圆截
得的弦的中点坐标为 .
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）过 F1的直线 l交椭圆于 A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线 l的方程.
7．已知点 ， 是椭圆 的左，右焦点，椭圆上一点 满足 轴，
，.
（1）求椭圆 的标准方程；
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