2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第6讲 图形问题（原卷版）
第6讲 图形问题
一、解答题
1．已知椭圆 （ ），以椭圆内一点 为中点作弦 ，设线段 的中垂
线与椭圆相交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得 ， ， ， 在同一个圆上，并说明理由．
2．已知 O为坐标原点，F为椭圆 C： 在 y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为 的直线 l与
C交于 A、B两点，点 P满足 ．
（Ⅰ）证明：点 P在C上；
（Ⅱ）设点 P关于点 O的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
3．已知椭圆 的方程为 ，点 为长轴的右端点． 为椭圆 上关于原点对称的两点．直
线 与直线 的斜率 满足： ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与圆 相切，且与椭圆 相交于 两点，求证：以线段 为直
径的圆恒过原点．
4．已知椭圆 的右焦点为 F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点， ABF 的面积
为 ．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）过点 F的直线 l与椭圆 C交于 P，Q两点，直线 AP、AQ 分别与直线 x＝ 交于点 M、N．以 MN
为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
5．如图，点 为圆 ： 上一动点，过点 分别作 轴， 轴的垂线，垂足分别为 ， ，连
接 延长至点 ，使得 ，点 的轨迹记为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 ， 分别位于 轴与 轴的正半轴上，直线 与曲线 相交于 ， 两点，试问在曲线
上是否存在点 ，使得四边形 为平行四边形，若存在，求出直线 方程；若不存在，说明理由.
6．设椭圆 的左焦点为 ，下顶点为 ，上顶点为 ， 是等边三角形.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线 ，过点 且斜率为 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ），线段 的
垂直平分线与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，若 .
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