2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第9讲蒙日圆问题（解析版）

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第9讲蒙日圆问题

一、解答题

1．已知椭圆的一个焦点为，离心率为 .

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系

求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切

线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，

并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于

的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨

迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下

所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程.

（1）由题意知，且有，即，解得，

因此椭圆的标准方程为；

（2）①设从点所引的直线的方程为，即，

当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，

将直线的方程代入椭圆的方程并化简得

，

化简得，即，

则、是关于的一元二次方程的两根，则，

化简得；

② 当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.

综上所述，点的轨迹方程为 .

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公

共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

2．给定椭圆 C： (a>b>0)，称圆心在原点 O，半径为的圆为椭圆 C的“准圆”．若

椭圆 C的一个焦点为 F(，0)，其短轴上的一个端点到 F的距离为 .

（1）求椭圆 C的方程和其“准圆”方程；

（2）若点 P是椭圆 C的“准圆”上的动点，过点 P作椭圆的切线 l1，l2交“准圆”于点 M，N.证明：

l1⊥l2，且线段 MN 的长为定值．

【答案】（1）椭圆方程为，“准圆”方程为 x2＋y2＝4；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由已知，进而可得椭圆 C的方程和其“准圆”方程；

（2）①当直线 l1，l2中有一条斜率不存在时，分别求出 l1和l2，验证命题成立；②当 l1，l2斜率存在时，设

点P(x0，y0)，其中，联立过点 P(x0，y0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由 Δ＝0化简整理，

可证得 l1⊥l2；进而得出线段 MN 为“准圆”x2＋y2＝4的直径，即线段 MN 的长为定值．

【详解】

（1）∵椭圆 C的一个焦点为

其短轴上的一个端点到 F的距离为 .

∴ ，

∴椭圆方程为，

∴“准圆”方程为 x2＋y2＝4.

（2）证明：①当直线 l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1斜率不存在，则 l1：x＝±，

当l1：x＝时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，－1)，

此时 l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线 l1，l2垂直；

同理可证当 l1：x＝－时，直线 l1，l2垂直．

②当l1，l2斜率存在时，

设点 P(x0，y0)，其中 .

设经过点 P(x0，y0)与椭圆相切的直线为

y＝t(x－x0)＋y0，

∴由

得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.

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