2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第16讲 面积定值问题（解析版）

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第16 讲 面积定值问题
一、解答题
1．已知椭圆 的离心率 e满足 ，右顶点为 A，上顶点为 B，
点C(0，－2)，过点 C作一条与 y轴不重合的直线 l，直线 l交椭圆 E于P，Q两点，直线 BP，BQ 分别交 x
轴于点 M，N；当直线 l经过点 A时，l的斜率为 ．
(1)求椭圆 E的方程；
(2)证明： 为定值．
【答案】（1） （2）证明见解析
【分析】
（1）由 得 ，从而可得 ，又有 ，可得 ，
从而可求出椭圆 E的方程；
（2）由题知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为
联立直线与椭圆的方程得韦达定理，且 =，得 ，写出直
线BP 的方程，求得 ，同理可得 ，化简求得 =
为定值．
【详解】
解：（1）由 解得 或 （舍去），
∴ ，又 ，
，
又 ，
， ，
椭圆 E的方程为 ；
（2）由题知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设 ，
由 得 ，
∴ ，
=
，
∴ ，
=，
直线 BP 的方程为 ，令 解得 ，则 ，
同理可得 ，
=
= = ，
为定值 ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于中档题．
2．已知椭圆 C：1（a＞b＞0）的离心率为 ，O是坐标原点，点 A，B分别为椭圆 C的左右
顶点，|AB|＝4．
（1）求椭圆 C的标准方程．
（2）若 P是椭圆 C上异于 A，B的一点，直线 l交椭圆 C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN
的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）1；（2）是，定值 2．
【分析】
由题知, ,由 及 的关系即可求解;
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