2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第25讲 蝴蝶问题（原卷版）
第25 讲 蝴蝶问题
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，已知圆 ，点 ， 是圆 上任意一点，线段
的垂直平分线与半径 相交于点 ，设点 的轨迹为曲线 。
(1)求曲线 的方程；
(2)若 ，设过点 的直线 与曲线 分别交于点 ，其中
，求证：直线 必过 轴上的一定点。(其坐标与 无关)
2．已知椭圆 的左､右顶点分别为点 ， ，且 ，椭圆 离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点，且斜率不为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 ， 的交于点 ，
求证：点 在直线 上.
3．已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 ，点 P为椭圆上一点．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1的直线 l与椭圆交于 M，N两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN
的斜率为 k2，若 k1＝2k2，求直线 l斜率的值．
4．已知椭圆 E： 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点
在椭圆 E上.
（1）求椭圆 E的方程；
（2）设不过原点 O且斜率为 的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与
椭圆 E交于 C，D，证明： ．
5．已知椭圆 的离心率为 ，且过 点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不过原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，线段 的中点为 ，直线
与椭圆 交于 ，证明： .
6．如图， 为坐标原点，椭圆 （ ）的焦距等于其长半轴长， 为椭圆 的
上、下顶点，且
（1）求椭圆 的方程；
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