2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第28讲 四点共圆问题（解析版）
第28 讲 四点共圆问题
一、解答题
1．已知直线 交抛物线 于 两点．
（1）设直线 与 轴的交点为 ．若 ，求实数 的值；
（2）若点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求证： 四点共圆．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设 ，直线方程代入抛物线方程后由判别式得 的范围，由韦达定理得
，再由向量的数乘可得 ＝0，结合韦达定理可得 值；
（2）设 ，由对称性得 ， ．再由 在抛物线上，代入
变形得 与 的关系，然后计算 ，得 ，
同理 ，得证四点共圆．
【详解】
解：由 得 ．
设 ，
则 ．
因为直线 与 相交，
所以
得 ．
（1）由 ，得 ，
所以 ，解得
从而 ，
因为
所以 解得 ．
（2）设 ，
因为 两点关于直线 对称，
则
解得 ．
又
于是
解得 ．
又点 在抛物线上，
于是 ．
因为
所以 ，
于是
因此 ，
同理
于是点 在以 为直径的圆上，
即 四点共圆．
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为
，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得 ，再利用向量的线性运
算求得 关系，从而可求得 值．
2．已知椭圆 上三点 、 、 与原点 构成一个平行四边形 ．
（1）若点 是椭圆 的左顶点，求点 的坐标；
（2）若 、 、 、 四点共圆，求直线 的斜率．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
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