第04讲 拓展一：非线性经验回归方程 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第04 讲 拓展一：非线性经验回归方程
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：指数型
题型二：对数型
题型三：幂函数型
知识点一：非线性经验回归
当经验回归方程并非形如 (）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线
性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总
结如下：
曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式
建立非线性经验回归模型的基本步骤
1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；
3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性
经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
5.消去新元，得到非线性经验回归方程；
6.得出结果后分析残差图是否有异常 ．
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点二：非线性经验回归类型
非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，幂函数型，做题关键在于变量之间的转换
1、指数型：
① 类型一， ，处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对
数用的较多），比如 e为底数，取 ln，则现在方程变为 ，，将 进行换元，
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 ；
② 类型二， ，此为类型一的变式，多了常数项部分，常见的变化形式为
（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
2、对数型：
① 类型一，形如 ，则令 ，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
② 类型二， ，两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取 ，令 ，则
非线性回归方程变成线性回归直线方程
3、幂函数型：
① 类型一， ， ， 等等，处理方式是将方程中幂函数部分换成一个新变量，
比如 ， ， ，然后将非线性回归方程变成线性回归直线方程
② 类型二， ，做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上） ，令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
题型一：指数型
典型例题
例题 1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）用模型 拟合一组数 ，若
， ，设 ，得变换后的线性回归方程为 ，则
（ÇÇÇ）
A．12 B．C．D．7
【答案】B
【详解】由已知， ，所以 ，
第二部分：典 型 例 题 剖 析
， ，所以
，
由题意， 满足线性回归方程为 ，所以 ，所以 ，
此时线性回归方程为 ，即 ，
可将此式子化为指数形式 ，即为 ，
因为模型为模型 ，所以 ， ，
所以 .
故选：B.
例题 2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））一只红铃虫产卵数 和温度 有关，现测得一组数据
，可用模型 拟合，设 ，其变换后的线性回归方程为 ，若
， ， 为自然常数，则 ________.
【答案】
【详解】 经过 变换后，得到 ，根据题意 ，故 ，又
，故 ， ，故 ，于是回归方程
为 一定经过 ，故 ，解得 ，即 ，于是 .
故答案为： .
例题 3．（2022·河南商丘·高二期末（文）） 网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输
速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十.作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，
而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备.某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内
逐月攀升，该公司1月份至 6月份的经济收入 （单位：万元）关于月份 的数据如下表所示，并根据数
据绘制了如图所示的散点图.
月份 123456
收入6 11 2
337 72 124
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