第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第06 讲 向量法求空间角（含探索性问
题） (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：异面直线所成的角
题型二：直线与平面所成的角
角度 1：求直线与平面所成角(定值问题）
角度 2：求直线与平面所成角(最值问题）
角度 3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
题型三：二面角
角度 1：求平面与平面所成角(定值问题）
角度 2：求平面与平面所成角(最值问题）
角度 3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
第四部分：高考真题感悟
知识点一：异面直线所成角
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
设异面直线 和 所成角为 ，其方向向量分别为 ， ；则异面直线所成角向量求法：
①
②
知识点二：直线和平面所成角
设 直 线 的 方 向 向 量 为 ， 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 ， 则 ①
；
②.
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角的大小
．
（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角的大小 满足：
① ；
②
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是
钝二面角.）
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体 中 O为面 的中心， 为面
A1B1C1D1
的
中心.若E为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
A．B．C．D．
【答案】B
设正方体的边长为 ，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线 与 所成角为 ，
则.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 分别是
棱 ， ， 的中点， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
因为 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，以 为空间直角坐标系的原点，以 所在的直线为 轴，建立如
下图所示的空间直角坐标系， ，
， ， ，
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