第八章 平面向量章末总结-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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第八章 平面向量
章末总结
【要点归纳】
一、平面向量的概念
1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．表示方法：用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量
的方向．用字母 a，b，…或用AB，BC，…表示．
3．模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.
4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0；零向量的方向是任意的．
5．单位向量：长度等于 1个单位长度的向量叫做单位向量．与 a平行的单位向量 e＝±.
6．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又
称为共线向量．
7．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
二、平面向量的线性运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．
(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
2．向量的减法
(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)法则：三角形法则．
3．实数与向量的积
(1)定义：实数 λ与向量 a的积是一个向量，记作 λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa 的方向与 a的方
向相同；当 λ＜0时，λa 的方向与 a的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有 λa 与a平行．
(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
三、两个定理
1．向量共线定理
(1)如果有一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)，那么 b与a是共线向量；反之，如果 b与a(a≠0)是共线向量，那
么有且只有一个实数 λ，使 b＝λa.
(2)向量平行的坐标表示：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
2．平面向量基本定理：
平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a，有且仅有一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底．一个平面向量用一组基底 e1，e2表示成 a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．
当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．
四、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念及意义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a与
b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a和b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ叫做 a与b的数量积，
记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b等于 a的模与 b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，或|a|＝.
(3)a⊥b⇔a·b＝0.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝；
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
【考点整合】
【考点一】 共线向量定理及其推论
【典型例题 1】
在△ABC 中，AB＝2a，AC＝3b，设 P为△ABC 内部及其边界上任意一点，若
AP＝λa＋μb，则 λμ 的最大值为__________．
【 解 析 】 　过 点 P作BC 平 行 线 ， 交 AB ，AC 于 点 M，N， 设 NP ＝tNM ， 则 有 AP ＝tAM ＋(1 －
t)AN(0≤t≤1)，设AM＝mAB，则有AN＝mAC(0≤m≤1)，所以AP＝tmAB＋(1－t)mAC，
所以AP＝2tma＋3(1－t)mb，所以所以 λ≥0，μ≥0，3λ＋2μ＝6m≤6，由 3λ＋2μ≥2 得2≤6，所以 λμ≤，λμ
的最大值为.
【答案】　
【归纳总结】
(1)A，B，C三点共线时，一定存在实数 λ，使得AB＝λBC或AB＝λAC等；
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