解密15 导数与函数的单调性、极值、最值问题（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 15 导数与函数的单调性、极值、

最值问题

A组考点专练

一、选择题

1.函数 f(x)＝ln x－ax 在x＝2处的切线与直线 ax－y－1＝0平行，则实数 a＝(　　)

A.－1 B. C. D.1

【答案】B

【解析】由f(x)＝ln x－ax，得 f′(x)＝－a，∴f(x)在x＝2处切线的斜率 k＝f′(2)＝－a.依题意－a＝a，

所以 a＝.

2.函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是(　　)

【答案】D

【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应 y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应 y＝

f(x)的减区间，验证只有 D选项符合.

3.已知函数 f(x)＝2ef′(e)ln x－，则 f(x)的极大值点为(　　)

A. B.1 C.e D.2e

【答案】D

【解析】因为 f(x)＝2ef′(e)ln x－(x＞0)，

所以 f′(x)＝－，所以 f′(e)＝－＝2f′(e)－，

因此 f′(e)＝，所以 f′(x)＝－，

由f′(x)＞0，得 0＜x＜2e；由 f′(x)＜0，得 x＞2e.

所以函数 f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，

因此 f(x)的极大值点为 x＝2e.

4.已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数 f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数 g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的

最小值为(　　)

A.－3e B.－2e C.e D.2e

【答案】B

【解析】由题意可得 f′(x)＝x2＋2mx＋n，

∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，

故f(x)＝x3＋nx＋2，∵f(1)＝＋n＋2＝－，∴n＝－3.

∴f(x)＝x3－3x＋2，则 f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，

则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)，

据此可知函数 g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，

故函数 g(x)的极小值，即最小值为 g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.

5.(多选题)已知定义在上的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且 f(0)＝0，f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，则下列判断中正确

的是(　　)

A.f<f B.f>0

C.f>f D.f>f

【答案】CD

【解析】令g(x)＝，x∈，

则g′(x)＝.

因为 f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，所以 g′(x)＝<0 在上恒成立，所以函数 g(x)＝在上单调递减，所以 g>g，即>，

即f>f，故 A错误；又 f(0)＝0，所以 g(0)＝＝0，所以 g(x)＝≤0在上恒成立，因为 ln ∈，所以 f<0，故 B错

误；又 g>g，所以>，即 f>f，故 C正确；又 g>g，所以>，即 f>f，故 D正确.故选 CD.

二、填空题

6.若曲线 y＝ex在x＝0处的切线也是曲线 y＝ln x＋b的切线，则 b＝________.

【答案】2

【解析】令y＝f(x)＝ex，y＝g(x)＝ln x＋b，

∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，

∵f(0)＝1，∴曲线 y＝ex在x＝0处的切线方程为 y＝x＋1.

设切线 y＝x＋1与曲线 y＝g(x)＝ln x＋b的切点坐标为(m，m＋1)，

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