考点05 三角函数定义及同角三角函数（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 05 三角函数定义及同角三角函数

一．任意角

(1)角的概念的推广

① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

② 按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角：终边与角 α相同的角可写成 α＋k·360°(kZ)∈．

(3)弧度制

1① 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角．

② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角 α作为圆心角

时所对圆弧的长，r为半径．

③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度．

二．任意角的三角函数

1.定义：在平面直角坐标系中，设 α的终边上任意一点 P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r(r＝>0)．

则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

2.三角函数在每个象限的正负如下表：

三角函数第一象

限符号

第二象

限符号

第三象

限符号

第四象

限符号

sin α＋＋－－

cos α＋－－＋

tan α＋－＋－

三．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 (2)商数关系：＝tan α.

四．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；

(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝.

考向一角度制与弧度制的转换

【例 1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角

知识理解

考向分析

的终边.

度

弧度

【答案】填表见解析，作图见解析

【解析】如表，

度

弧度 0

如图：

对应的角的终边分别为图中的射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI.

【例 1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度.

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） .

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） .

【解析】（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6） .

【例 1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成 2

π＋

(0≤

<π，

∈Z)的形式是(　　)

A．－8π＋ B．－10π－

C．－8π＋ D．－10π＋

【答案】D

【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+ ．故选 D

【举一反三】

1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度：

（1）；（2）；（3）；（4） .

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）；（2）；

（3）；（4）．

2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化.

（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－ .

【答案】（1）20°＝；（2）－15°＝－；（3）＝105°；（4）－＝－396°.

【方法总结】

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