考点11 平面向量的坐标运算（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 11 平面向量的坐标运算
一．平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘及向量的模
设 ＝(
x
1，
y
1)，
b
＝(
x
2，
y
2)，则
＋ ＝(
x
1＋
x
2，
y
1＋
y
2)， － ＝(
x
1－
x
2，
y
1－
y
2)，
λ
＝(
λx
1，
λy
1)，| |＝.
2.向量坐标的求法
① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
② 设
A
(
x
1，
y
1)，
B
(
x
2，
y
2)，则AB＝(
x
2－
x
1，
y
2－
y
1)，|AB|＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设 ＝(
x
1，
y
1)， ＝(
x
2，
y
2)，其中 ≠0. ， 共线⇔
x
1
y
2－
x
2
y
1＝0.
4．向量的夹角
（1）已知两个非零向量 和 ，作OA＝ ，OB＝ ，则∠
AOB
就是向量 与 的夹角，向量夹角的范围是
[0，π]
（2）夹角 cos
θ
＝ ＝
5．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量 ，
b
的夹角为
θ
，则数量| || |·cos
θ
叫做 与 的数量积
(或内积)，记作 ·
投影 | |cos
θ
叫做向量 在 方向上的投影，
| |cos
θ
叫做向量 在 方向上的投影
几何意义 数量积 · 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| |cos
θ
的乘积
拓展：向量数量积不满足：
知识理解
① 消去律，即 · ＝ · ⇏＝
② 结合律，即( · )· ⇏·( · )．
6．向量数量积的运算律
(1) · ＝ · .
(2)(
λ
)· ＝
λ
( · )＝ ·(
λ
)＝
λ
· .
(3)( ＋ )· ＝ ·
c
＋ ·
7．向量在平面几何中的应用
问题类型 公式表示
线平行、点共线等问题
∥⇔＝
λ
⇔
x
1
y
2－
x
2
y
1＝0，其中 ＝(
x
1，
y
1)， ＝(
x
2，
y
2)，
≠0
垂直问题
⊥⇔· ＝0⇔
x
1
x
2＋
y
1
y
2＝0，其中 ＝(
x
1，
y
1)， ＝(
x
2，
y
2)，且
a
， 为非零向量
夹角问题 cos
θ
＝(
θ
为向量 ，
b
的夹角)，其中 ， 为非零向量
长度问题 | |＝＝，其中 ＝(
x
，
y
)， 为非零向量
考向一 向量坐标的加减法
【例 1】（2020·全国高三专题练习）已知点 则与 同方向的单位向量为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以与 同方向的单位向量为 ，
考向分析
故选 A.
【举一反三】
1.（2020·全国高三专题练习）已知
M
(3，－2)
，N
(－5，－1)，且 ，则
P
点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
【答案】B
【解析】设 P(
x，y
)，则 ＝ (
x
－3，
y
＋2)，而 ＝ (－8,1)＝ ，
所以 ，解得 ，即 ， 故选 B.
2．（2020·四川资阳市·高三）已知 ， ， ， ，则向量 （
）.
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】 ， ，所有 .故选：C
考向二 向量坐标的垂直平行运算
【例 2】（1）（2020·河津中学高三月考）向量 ，若 ，则
k
的值
是（ ）
A．1 B． C．4 D．
（2）（2020·海口市·海南中学高三月考）3.设向量 ， ， ，且 ，
则 （ ）
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