考点39 利用导数求极值最值（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 39 利用导数求极值最值
一．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数
y
＝
f
(
x
)在点
x
＝
a
的函数值
f
(
a
)比它在点
x
＝
a
附近其他点的函数值都小，
f
′(
a
)＝0；而且在点
x
＝
a
附近的左侧
f
′(
x
)＜0，右侧
f
′(
x
)＞0，则点
a
叫做函数
y
＝
f
(
x
)的极小值点，
f
(
a
)叫做函数
y
＝
f
(
x
)的
极小值．
(2)函数的极大值：
函数
y
＝
f
(
x
)在点
x
＝
b
的函数值
f
(
b
)比它在点
x
＝
b
附近其他点的函数值都大，
f
′(
b
)＝0；而且在点
x
＝
b
附近的左侧
f
′(
x
)＞0，右侧
f
′(
x
)＜0，则点
b
叫做函数
y
＝
f
(
x
)的极大值点，
f
(
b
)叫做函数
y
＝
f
(
x
)的
极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
（3）注意事项
① 函数
f
(
x
)在
x
0处有极值的必要不充分条件是
f
′(
x
0)＝0，极值点是
f
′(
x
)＝0 的根，但
f
′(
x
)＝0 的根
不都是极值点(例如
f
(
x
)＝
x
3，
f
′(0)＝0，但
x
＝0 不是极值点)
② 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，
不会是端点
二．函数的最值
(1)在闭区间[
a
，
b
]上连续的函数
f
(
x
)在[
a
，
b
]上必有最大值与最小值．
(2)若函数
f
(
x
)在[
a
，
b
]上单调递增，则
f
(
a
)为函数的最小值，
f
(
b
)为函数的最大值；若函数
f
(
x
)在
[
a
，
b
]上单调递减，则
f
(
a
)为函数的最大值，
f
(
b
)为函数的最小值．
考向一 求极值
【例 1】（2021·全国课时练习）函数 在 上的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
知识理解
考向分析
【解析】函数 的导数为 ，
因为 ，由 ，可得 ，解得 .
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以使得函数 取得极大值的 的值为 ，
故选：C.
【举一反三】
1．（2021·石泉县石泉中学）函数 的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【方法总结】
利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数 的定义域；
（2）求导；
（3）解方程 ，当 ；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
① 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值；
② 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值
【解析】由 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 或 时， ， 单调递减；
所以当 时，函数 取得极小值，
极小值为 .
故选：A.
2．（2021·河南新乡市）已知函数 的图象在 处的切线方程为 ，则
的极大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
又因为函数 在图象在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，解得 ， .
由 ， ， ， ， ，知 在 处取得极大值，
.故选：A.
考向二 已知极值求参数
【例 2】（2021·福建南平市）已知 是函数 的极小值点，则函数 的极小值为（
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