题型06 立体几何与空间向量（原卷版）- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测 06 立体几何与空间向量
1、有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关
系的判定与性质;
2、有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查
学生的空间想象能力及推理论证能力;
3、线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全
卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.
1、线面平行的判定定理与性质定理
1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.
符号语言： .
要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.
2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.
符号语言： .
当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.
3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号语言： .
要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是
相交直线.
4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言： .
2、直线、平面垂直的判定定理与性质定理
1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.
符号语言： .
要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.
2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言： .
此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面
垂直，则另一条直线也与该平面垂直.
3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.
符号语言： .
要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.
4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言： .
要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.
3、异面直线所成角
设异面直线 a，b所成的角为 θ，则 cos θ＝， 其中 a，b分别是直线 a，b的方向向量．
4、直线与平面所成角
设l为平面 α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面 α的法向量，φ为l与α所成的角，则 sin φ ＝ |
cos 〈 a ， n 〉 | ＝
5、二面角
平面 α与β相交于直线 l，平面 α的法向量为 n1，平面 β的法向量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α l β
为θ或π－θ.设二面角大小为 φ，则|cos φ | ＝ |cos θ | ＝
6、利用空间向量求距离
点到平面的距离
如图所示，已知 AB 为平面 α的一条斜线段，n为平面 α的法向量，则 B到平面 α的距离为|BO|＝.
一．选择题（共 5小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为
❑
√
2
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
　）
A．2 B．2
❑
√
2
C．4 D．4
❑
√
2
2．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（　　）
A．20+12
❑
√
3
B．28
❑
√
2
C．
56
3
D．
28❑
√
2
3
3．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球
静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km（轨道高度是指卫星到地球表面
的距离）．将地球看作是一个球心为 O，半径 r为6400km 的球，其上点 A的纬度是指 OA 与赤道平面所
成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α，该卫星信号
覆盖地球表面的表面积 S＝2πr2（1 cos﹣α）（单位：km2），则 S占地球表面积的百分比约为（　　）
A．26% B．34% C．42% D．50%
4．（2021•甲卷）已知 A，B，C是半径为 1的球 O的球面上的三个点，且 AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱
锥O﹣ABC 的体积为（　　）
A．
B．
❑
√
3
12
C．
❑
√
2
4
D．
❑
√
3
4
5．（2021•乙卷）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线 PB 与AD1所成的角为（
　）
A．
π
2
B．
π
3
C．
π
4
D．
π
6
二．多选题（共 2小题）
（多选）6．（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方
体的顶点，则满足 MN⊥OP 的是（　　）
A． B．C． D．
（多选）7．（压轴）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点 P满足
BP
→
=¿
λ
BC
→
+¿
μ
B B
→
1
，其中 λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（　　）
A．当 λ＝1时，△AB1P的周长为定值
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