专题02解三角形-讲案【教师版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 02　解三角形（讲）（理）
. 正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，
常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查.
1．【2021·全国高考真题（理）】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛
的高．如图，点
E
，
H
，
G
在水平线
AC
上，
DE
和
FG
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称
为“表高”，
EG
称为“表距”，
GC
和
EH
都称为“表目距”，
GC
与
EH
的差称为“表目距的差”则海
岛的高
AB
（ ）
A．
表高 B．
表高
C．
表距 D．
表高 表距 -
表目距的差
表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，
,
DE EH FG CG
AB AH AB AC
 
，而
DE FG
，所以
DE EH CG CG EH CG EH
AB AH AC AC AH CH
 
 
，而
CH CE EH CG EH EG 
，
即
CG EH EG EG DE
AB DE DE
CG EH CG EH
 
 
 
＝
+
表高 表距 表高
表目距的差
．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
2．【2021·全国高考真题（理）】2020 年12 月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86
（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有
A，B，C三点，且 A，B，C在同一水平面上的投影
, ,A B C
 
满足
45A C B  
，
60A B C
 
 
．由 C点测
得B点的仰角为
15
，
BB
与
CC
的差为 100；由 B点测得 A点的仰角为
45
，则 A，C两点到水平面
ABC
 
的高度差
AA CC
 
约为（
3 1.732
）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得
' 'A B
，进而得到答案．
【详解】
过
C
作
'CH BB
，过
B
作
'BD AA
，
故
 
' ' ' ' ' ' 100 100AA CC AA BB BH AA BB AD      
，
由题，易知
ADB△
为等腰直角三角形，所以
AD DB
．
所以
' ' 100 ' ' 100AA CC DB A B  
．
因为
15BCH  
，所以
100
' ' tan15
CH C B 
在
' ' 'A B C
中，由正弦定理得：
' ' ' ' 100 100
sin 45 sin 75 tan15 cos15 sin15
A B C B
 
 
，
而
6 2
sin15 sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 4
   
，
所以
2
100 4 2
' ' 100( 3 1) 273
6 2
A B
 
 
，
所以
' ' ' ' 100 373AA CC A B  
．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将
' 'AA CC
的长度通过作辅助线的方式转化为
' ' 100A B
．
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