专题2.1 指数函数、对数函数与幂函数（解析版）-【高考总复习】2023年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

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专题 2.1 指数函数、对数函数与幂函数
专题 2.1.1 指对幂的基本运算
考点 1 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当 n为奇数时，＝a，当 n为偶数时，＝|a|＝
考点 2 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 a－
＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
考点 3 对数的概念
如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，其中 a叫做对数的底数，N叫
做真数.
考点 4 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：① alogaN＝N；② logaab＝b(a>0，且 a≠1).
(2)对数的运算法则
如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ② loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④ logamMn＝logaM(m，n∈R，且 m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于 1).
【225】．（2022·全国·高考真题·★★★）
已知 ，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式可得 ，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 ．综上， ．
故选：A.
【226】．（2022·北京·高考真题·★★）
己知函数 ，则对任意实数 x，有（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
，故 A错误，C正确；
，不是常数，故 BD 错误；
故选：C．
【227】．（2021·天津·高考真题·★★）
若 ，则 （）
A．B．C．1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知表示出 ，再由换底公式可求.
【详解】
， ，
.
故选：C.
【228】．（2021·全国·高考真题·★★★）
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视
力数据，五分记录法的数据 L和小数记录表的数据 V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的
数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
【详解】
由 ，当 时， ，
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