专题03等差数列等比数列之测案【教师版】（文科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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等差数列等比数列—测案

【满分：150 分时间：120 分钟】

一、单项选择题（12*5=60 分）

1.(2021·石室中学一诊)正项等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a2＋a8－a＋8＝0，则 S9＝(　　)

A.35 B.36 C.45 D.54

答案　B

解析　由等差数列的性质得 a2＋a8＝2a5，

∴a2＋a8－a＋8＝0，可化为 a－2a5－8＝0.

又a5>0，解得 a5＝4.

∴S9＝＝9a5＝36.

2.在等比数列{an}中，a4＝，a5＝，则数列{lg an}的前 8项和 S8为(　　)

A.4 B.2 C.3 D.5

答案　B

解析　因为{an}为等比数列，且 a4＝，a5＝，

所以 a4a5＝·＝.

则数列{lg an}的前 8项和

S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg a1·a2·…·a8

＝lg(a1·a8)(a2·a7)(a3·a6)(a4·a5)

＝lg()4＝4lg ＝2.

3.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为 q，前 n项和为 Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，

则(　　)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案　B

解析　当 a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列

{Sn}递增时，有 Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若 a1＞0，则 qn＞0(n∈N*)，即 q＞0；若 a1＜0，则 qn＜

0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.

4.(2021·日照校际联考)对于数列{an}，若存在正整数 k(k≥2)，使得 ak<ak－1，ak<ak＋1，则称 ak是数

列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若 an＝，则数列{an}的“谷值

点”为(　　)

A.2 B.7 C.2，7 D.2，3，7

答案　C

解析　因为 an＝，所以 a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝.

当n≥7，n∈N*时，n＋－8>0，

所以 an＝＝n＋－8，

此时数列{an}递增，a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，

所以数列{an}的“谷值点”为2，7.

5.(2021·湖北重点中学调研)设等比数列{an}的公比为 q，前 n项和为 Sn，前 n项积为 Tn，并满足条

件a1>1，a2 021·a2 022>1，(a2 021－1)·(a2 022－1)<0，则下列结论中不正确的有(　　)

A.q>1

B.S2 022>S2 021

C.a2 021·a2 023<1

D.T2 021 是数列{Tn}中的最大项

答案　A

解析　由{an}为等比数列，a1>1，a2 021·a2 022>1 及(a2 021－1)·(a2 022－1)<0，

得或(舍去).

∴公比 q＝<1，则 A错误.

S2 022＝S2 021＋a2 022＝S2 021＋a1q2 021>S2 021，故 B正确.

由等比数列性质知 a2 021·a2 023＝a<1，所以 C正确.

因为 a1>1，a2>1，…，a2 021>1，a2 022<1，a2 023<1，…，所以(Tn)max＝T2 021，D正确.

6.已知数列{an}满足 an＋2＋an＝2an＋1＋1，且 a1＝1，a2＝5，则 a18＝(　　)

A.69 B.105 C.204 D.205

答案　D

解析　由an＋2＋an＝2an＋1＋1，得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋1，

则(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝1，

∵a2－a1＝5－1＝4，

∴数列{an＋1－an}是以 4为首项，1为公差的等差数列，an＋1－an＝4＋1×(n－1)＝n＋3，

则a1＝1，a2－a1＝4，a3－a2＝5，…，an－an－1＝n＋2，

各项相加，得

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