专题3-1 导数求切线及公切线归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

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专题 3-1 导数求切线及公切线归类

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】求切线基础型：给切点求切线......................................................................................................1

【题型二】求切线基础型：有切线五切点求切点..........................................................................................2

【题型三】求切线基础型：无切点求参..........................................................................................................4

【题型四】无切点多参.......................................................................................................................................5

【题型五】 “过点”型切线..............................................................................................................................6

【题型六】判断切线条数...................................................................................................................................8

【题型七】多函数（多曲线）的公切线........................................................................................................10

【题型八】切线的应用：距离最值................................................................................................................13

【题型九】切线的应用：距离公式转化型....................................................................................................14

【题型十】切线的应用：恒成立求参………………………………………………………………………

【题型十一】切线的应用：零点....................................................................................................................20

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................22

【题型一】求切线基础型：给切点求切线

【典例分析】

已知函数，则曲线在点处的切线的方程为__________.

【答案】

【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程．

【详解】因为，所以，

则所求切线的方程为 .故答案为： .

【提分秘籍】

基本规律

以曲线上的点(x0，f(x0))（已知 x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：

① 求出函数 f(x)的导数 f′(x)；

② 求切线的斜率 f′(x0)；

③ 写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

【变式演练】

1.曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点的横坐标代入导函数所得的值就是切

线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.

解：由，得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以所求的切线方程为，即，

故答案为：，

2.已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________.

【答案】

【分析】将点的坐标代入曲线方程，可求得的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切

线方程.

【详解】因为点在曲线上，，可得，所以，，

对函数求导得，

则曲线在点处的切线斜率为，

因此，曲线在点处的切线方程为，即 .

故答案为： .

3.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）

A．1 B．C．D．

【答案】B

【分析】求出函数的导数 ,利用函数 f(x)在x=1 处的倾斜角为得

,由此可求 a的值.

解:函数的导数 ,函数 f(x)在x=1 处的倾斜角为 ,

, , 故选 B.

【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点

【典例分析】

曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）

A． B． C．和 D．和

【答案】C

【详解】令，解得，，故点的坐标为，

故选 C.

【点睛】

本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.

【提分秘籍】

基本规律

以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：

① 求出函数 f(x)的导数 f′(x)；

② 求切线的斜率 f′(x0)；

③ 写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

【变式演练】

1.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐

标为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.

【详解】为偶函数，则，

，设切点得横坐标为，则解得，

（负值舍去）所以 .故选：D

2.过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】

求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程.

【详解】

解：∵ ，∴ ，

曲线在点处的切线斜率是，

∴过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为，

∴所求直线方程为，即．

故选：A.

3.曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.

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