专题3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 17 4 4.88MB 53 页 3知币

专题 3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】不等式证明 6：凸凹翻转型...........................................................................................................1

【题型二】不等式证明 7：三角函数与导数型...............................................................................................4

【题型三】不等式证明 8：极值点偏移（不含参）.......................................................................................6

【题型四】不等式证明 9：极值点偏移（含参）...........................................................................................9

【题型五】不等式证明 10：三个“极值点”（零点）型...........................................................................12

【题型六】不等式证明 11：比值代换（整体代换等）型 .........................................................................15

【题型七】不等式证明 11：非对称型（零点值 x1 与x2 系数不一致）....................................................18

【题型八】不等式证明 12：韦达定理型.......................................................................................................21

【题型九】不等式证明 13：利用第一问构造（包括泰勒展开）...............................................................23

【题型十】不等式证明 14：含 ex 和lnx 型...................................................................................................26

【题型十一】不等式证明 15：先放缩再证明型...........................................................................................28

【题型十二】不等式证明 16：切线放缩证明“两根差”型.......................................................................31

【题型十三】不等式证明 17：条件不等式证明...........................................................................................34

【题型十四】综合证明：x1 与x2 综合..........................................................................................................37

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................40

【题型一】不等式证明 6:凹凸翻转型

【典例分析】

已知， .

（1）求函数的单调区间；

（2）对一切，恒成立，求实数 a的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立.

【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增（2）（3）证明见解析

【分析】

（1）求出的导函数，令导函数小于 0，可求得函数单调递减区间，导函数大于 0，可求得函数单调递

增区间；

（2）把与解析式代入已知不等式，整理后设，求出的导函数，根据导

函数的正负判断单调性，进而求出的最小值，即可确定的范围；

（3）所证不等式两边乘以，左边为，右边设为，求出左边的最小值及右边的

最大值，比较即可得证．

（1）

解：因为，所以，

当，，当，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）

解：原不等式等价于，即对一切恒成立，

设，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，

所以实数 a的取值范围为；

（3）证明：原问题等价于证明，

由（1）可知，的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以，当且仅当时取到，

所以对一切，都有成立．

【提分秘籍】

基本规律

类型特征：

（1）特殊技巧；

（2）分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法

【变式演练】

1.已知．

（1）求函数的极值；

（2）证明：对一切，都有成立．

【答案】（1）极小值为，无极大值（2）证明见解析

【分析】

（1）求导，令 f′(x)=0，解得，分别讨论和时，的正负，可得的单调区

间，即可得答案.（2）问题等价于证明，x(0∈，＋∞)．设，利用导

数求得的单调区间和极值，分析即可得答案.

解（1）由，x>0，得 f′(x)=ln x＋1，令 f′(x)=0，得．

当时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以的极小值为，无极大值．

（2）证明：问题等价于证明，x(0∈，＋∞)．由（1）可知，

x(0∈，＋∞)，

设，则，当时，，单调递增；

当时，，单调递减．易知，当且仅当时取到．

从而对一切 x(0∈，＋∞)，成立，当且仅当时等号成立．

即对一切，都有成立．

2.已知函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明： .

【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析

【分析】（1），令，分别讨论，，

，解不等式或即可得单调增区间和减区间，进而可得单调性.

（2）设分别求，利用导数判断两个函数的单调性以及最值，求出

即可求证.

解（1）因为，所以，，，

令，当时，恒成立，此时在上单调递减，

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

专题3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）.docx

共53页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

专题3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: