专题4-1 三角函数性质、最值和w小题归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 3.37MB 47 页 3知币

专题 4-1 三角函数性质、最值和 W小题归类

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】图像和性质 1：“识图”...........................................................................................................1

【题型二】图像和性质 2：求周期................................................................................................................5

【题型三】图像和性质 3：正余弦函数的对称轴应用...............................................................................7

【题型四】图像和性质 4：正余弦函数的对称中心应用...........................................................................9

【题型五】最值与范围 1：辅助角..............................................................................................................11

【题型六】最值与范围 2：一元二次型正余弦函数有界性.....................................................................13

【题型七】最值与范围 3：sinx 与congx 积、和（差）换元型..............................................................16

【题型八】最值与范围 4：分式型..............................................................................................................18

【题型九】最值与范围 5：绝对值型.........................................................................................................19

【题型十】三角换元 1：圆代换..................................................................................................................22

【题型十一】三角换元 2：双变量消元代换型.............................................................................................24

【题型十二】三角换元 3：无理根号代换型.................................................................................................25

【题型十三】三角换元 4：正切代换型.........................................................................................................26

【题型十四】三角换元 5：向量中的三角换元型.........................................................................................28

【题型十五】三角函数中 W求解题...............................................................................................................33

【题型十六】数列与三角函数........................................................................................................................35

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................37

【题型一】图像与性质 1：“识图”

【典例分析】

已知函数，过点，，当，

的最大值为 9，则的值为（）

A．B．C．和 D．

【答案】B

【解析】由图可得，所以，令

，转化为求的最大值问题.

【详解】由已知，，所以，，又，，

所以，，故，

所以，

因，所以，，令，则，故

，

若，易得，不符合题意；若，易得，解得（舍）；

若，易得，解得 .故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

确定的步骤和方法:

(1)求：确定函数的最大值和最小值，则，；

(2)求：确定函数的周期，则可；

(3)求：常用的方法有代入法和五点法．

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意

交点是在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．

【变式演练】

1.已知函数（，）的部分图象如图所示，则满足条件

的最小正整数为____.

【答案】

【分析】先据图求出解析式，在解得两个可转为特殊角的三角函数值，解不等式验证最小正整数即可.

【详解】由题图可知，（T为f（x）的最小正周期），

得T＝π，所以 ω＝2，所以 f（x）＝2cos（2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，

则2× ＋φ＝，得 φ＝－，所以 f(x)＝2cos ，所以

，所以，

即（f（x）－1）f（x）＞0，可得 f（x）＞1或f（x）＜0，所以 cos 或cos

当x＝1时， ,，不符合题意；

当x＝2时， , cos 符合题意，所以满足题意的最小正整数 x为2.

故答案为：2

2.如图，点和点分别是函数 (，， )图

像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是（

）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

【答案】C

【分析】首先利用二倍角公式将化简为，再由，分别为的图像上的最

低点和最高点得到，再由，两点之间距离为得，从而求得的值，进而求得

的值，由题可知的最小正周期为，由此得到的值，再由经过点及的范围求得的值，

得到函数的解析式，进而判断函数在区间的单调性.

【详解】

如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，

连接，可知为直角三角形，，，

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