专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类2-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

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专题 4-3 正余弦定理与解三角形小题归类 2
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 图形 5：“扩展线”........................................................................................................................1
【题型二】 向量与正余弦定理..........................................................................................................................4
【题型三】 四心 1：外心....................................................................................................................................7
【题型四】 四心 2：内心....................................................................................................................................9
【题型五】 四心 3：重心..................................................................................................................................13
【题型六】 内心 4：垂心..................................................................................................................................16
【题型七】 解三角形应用题............................................................................................................................18
【题型八】 压轴小题 1......................................................................................................................................22
【题型九】 压轴小题 2......................................................................................................................................25
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................28
【题型一】图形 5：“扩展线”
【典例分析】
在 中， 是边 上的一点， ， ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，可得出 ，利用正弦定理可知 ，设 ，在
中由正弦定理得： ，进而利用诱导公式、两角和与差正弦和余弦公式、二倍角正
弦公式进行化简，求出 的值，从而得出 .
解：如图所示， 在 中， ， ，所以
，由正弦定理知 ，设 ， ， ，所以
，
设 ，在 中，由正弦定理得： ，
则 ，即 ，所以 ，整理得
，
即 ，即 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ．故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
“扩展线”型，多选择合适的角度作为变量，构造等量或者函数关系。
【变式演练】
1.在 中， ， ，且有 ，则线段 长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
在 中，设角 、 、 的对边分别为 、 、 ，利用正弦定理得出 ， ，利
用平面向量数量积的运算性质得出 ，利用三角恒等变换思想化简得出
，利用正弦型函数的有界性可得出线段 长的最大值.
【详解】
在 中，设角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
由正弦定理可得 ，则 ， ，
，即 ，
所以，
，
所以， ， ，则 ，当 时，即当 时， 取最大值，
即.故选：C.
2.如图， 为 的边 上一点， ， ， ，当 取最小值时，
的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设 ， ， ，则 ， ，在 中，运用余弦定理可得
，再由 ，得 ，
代入根据二次函数的最值可求得当 时， 有最小值，从而求得此时三角形的面积.
【详解】
设 ， ， ，则 ， ，
在 中， ， ， ，
又 ，
， ，
，整理得 ，
当 时， 有最小值，此时 取最小值，此时 ，
所以 .
故选：C.
3.在 中， ，若点 P是 所在平面内任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得 ，由此求得 的取值范围.
【详解】
由于 ，设 是 上一点，且 ，所以 ， .由 ，得
，.设 ，在三角形 中，
.由正弦定理得 ，即 ，解得
，所以 .在三角形 中，由余弦定理得 ，化简得
，解得 .表示平面内的点 到 两点的距离之差，所以
，所以 .
故选：D
【题型二】 向量
【典例分析】
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类2-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）.docx

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