专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

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专题 4-2 正余弦定理与解三角形小题 1
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 解三角形基础：角与对边..........................................................................................................1
【题型二】 判断三角形形状..........................................................................................................................2
【题型三】 最值与范围 1：先判断角...........................................................................................................3
【题型四】 最值与范围 2：余弦定理...........................................................................................................3
【题型五】 最值与范围 3：辅助角................................................................................................................4
【题型六】 最值与范围 4：均值不等式.......................................................................................................4
【题型七】 最值与范围 5：周长最值...........................................................................................................5
【题型八】 面积最值 1：消角........................................................................................................................6
【题型九】 面积最值 3：正切代换................................................................................................................6
【题型十】 最值与范围 6：建系设点...........................................................................................................7
【题型十一】 最值与范围 7：求正切的最值范围...........................................................................................8
【题型十二】 图形 1：中线................................................................................................................................8
【题型十三】 图形 2: 角平分线..........................................................................................................................9
【题型十四】 图形 3：高..................................................................................................................................10
【题型十五】 图形 4：四边形..........................................................................................................................11
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................12
【题型一】解三角形基础：角与对边
【典例分析】
的内角 的对边分别为 ，若
(sin B+sin C)2−sin2(B+C)=3 sin Bsin C
，且 ，则
的面积的最大值是
A．B．C．D．4
【提分秘籍】
基本规律
1.角与角所对应的边长已知
2.一般情况下，对称型多用余弦定理。
3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”
【变式演练】
1.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.在 中，角 的对边分别是 ，且 .若 ，则 面积的最大
值为
A．B．C．D．
3.设锐角 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（
）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【题型二】 判断三角形形状
【典例分析】
已知 的三条边 和与之对应的三个角 满足等式
则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦定理恒等变形：化边或者化角
2.判断边或者角的大小。
【变式演练】
1.在△ABC 中， ，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3.已知 的三边长分别为 ， ， ，若存在角 使得： 则 的
形状为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【题型三】 最值与范围 1：先判断角
【典例分析】
锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 ， ，若 ， 变化时，
存在最大值，则正数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
每个角都要判断。如锐角三角形，则三个角都要转化判断。
【变式演练】
1.已知锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .且 ， 则 的取值
范围为（ ）
A．B．C．D．
2.在锐角 中，
A=2B
，则
AB
AC
的取值范围是
A．
(
−1,3
)
B．
(
1,3
)
C．
D．
(
1,2
)
3.锐角
△ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
2sinA (acosC +ccosA )=❑
√
3a
，则
c
b
的取值
范围是（ ）
A．
(1
2,2)
B．
(❑
√
3
3,2❑
√
3
3)
C．
(1,2)
D．
(❑
√
3
2,1)
【题型四】 最值与范围 2：余弦定理
【典例分析】
在 中，内角 的对边分别为 ，若 的面积为
1
8c2
，则
a
b+b
a
的最大值为
A．2 B．4 C．
2❑
√
5
D．
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理两种基本形式：（1） ；（2）
2.一般情况下，边的平方形式，可能就是余弦定理的变形。需要通过构造与问题相关的形式和条件
【变式演练】
1.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
sin A=2sin Bsin C
，则
c
b+b
c
取得最大值时，
内角 的值为
A．B．
π
4
C．D．
2.满足条件 的三角形 的面积的最大值是
A．B．C．D．
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