专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

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专题 4-2 正余弦定理与解三角形小题 1
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 解三角形基础：角与对边..........................................................................................................1
【题型二】 判断三角形形状..........................................................................................................................3
【题型三】 最值与范围 1：先判断角...........................................................................................................5
【题型四】 最值与范围 2：余弦定理...........................................................................................................7
【题型五】 最值与范围 3：辅助角................................................................................................................8
【题型六】 最值与范围 4：均值不等式.....................................................................................................10
【题型七】 最值与范围 5：周长最值.........................................................................................................12
【题型八】 面积最值 1：消角......................................................................................................................13
【题型九】 面积最值 3：正切代换..............................................................................................................16
【题型十】 最值与范围 6：建系设点.........................................................................................................18
【题型十一】 最值与范围 7：求正切的最值范围.........................................................................................22
【题型十二】 图形 1：中线..............................................................................................................................24
【题型十三】 图形 2: 角平分线.......................................................................................................................27
【题型十四】 图形 3：高..................................................................................................................................29
【题型十五】 图形 4：四边形..........................................................................................................................31
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................34
【题型一】解三角形基础：角与对边
【典例分析】
的内角 的对边分别为 ，若
(sin B+sin C)2−sin2(B+C)=3 sin Bsin C
，且 ，则
的面积的最大值是
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】由
(
sin B+sin C
)
2−sin2
(
B+C
)
=3 sin BsinC
，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得
sin2B+sin2C−sin2A=sin Bsin C
，再由正弦定理可得
a2+b2−c2=bc
，从而由余弦定理求得
cos A=1
2
，
再利用基本不等式可得
bc ≤ 4
，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
∵sin
(
B+C
)
=sin A
，且
，
∴sin2B+sin2C−sin2A=sin Bsin C
，由正弦定理可得
a2+b2−c2=bc
，
由余弦定理可得
cos A=b2+c2−a2
2bc =1
2
，
sin A=❑
√
3
2
，又
∵a=2,∴4=b2+c2−bc≥ 2bc−bc=bc
，即
bc ≤ 4
，
∴SΔABC =1
2bc × sin A ≤ 1
2×4×
❑
√
3
2=❑
√
3
，即
ΔABC
最大面积为
❑
√
3
，故选 B.
【提分秘籍】
基本规律
1.角与角所对应的边长已知
2.一般情况下，对称型多用余弦定理。
3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”
【变式演练】
1.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将 进行化简，可求出 的值，再利
用边化角将 化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知 ，
即 由正弦定理化简得
即 故选： .
2.在 中，角 的对边分别是 ，且 .若 ，则 面积的最大
值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得 ，进而可得角 B，应用正弦定理有
，根据三角形面积公式、三角恒等变换得 ，即
可求 面积的最大值.
【详解】由 ，得 ，
∴，又 ，∴ ，即 ，又 ，
∴，又 ，∴
.
，
由 ，有 ，则 ，
，即 面积的最大值是 .故选：A.
3.设锐角 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（
）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出 ，再由余弦定理可得 ，
化为 ，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
则有 ，由 的内角 为锐角，可得 ，
，
由余弦定理可得 因此有
故选：D.
【题型二】 判断三角形形状
【典例分析】
已知 的三条边 和与之对应的三个角 满足等式
则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】由余弦定理，可得
，
整理，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
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