专题04数列求和及综合应用讲案【教师版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 04　数列求和及综合应用（讲）（理）

. 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.

数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

1.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前 n项和.若S2＝4，S4＝6，则 S6＝(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

答案　A

解析　法一　因为 S2＝4，S4＝6，且易知公比 q≠±1，所以由等比数列的前 n项和公式，得

两式相除，

得q2＝，所以或

所以 S6＝＝7.故选 A.

法二　易知 S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得 S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即 4(S6－6)＝22，所以 S6＝

7.故选 A.

2.(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝3an－4n.

(1)计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前 n项和 Sn.

解　(1)由a1＝3，an＋1＝3an－4n，得 a2＝5，a3＝7.

猜想 an＝2n＋1.证明如下：

由an＋1＝3an－4n，得 an＝3an－1－4n＋4(n≥2)，

则an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)].

又a1＝3，知 a1－3＝0，所以 an－(2n＋1)＝0，

则an＝2n＋1.

(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，

所以 Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①

从而 2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②

①－②得

－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，

所以 Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.

3.(2020·新高考海南卷)已知公比大于 1的等比数列{an}满足 a2＋a4＝20，a3＝8.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.

解　(1)设{an}的公比为 q(q>1).

由题设得解得或(舍去).

所以{an}的通项公式为 an＝2n.

(2)由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1

＝(－1)n－122n＋1，

故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1

＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1

＝＝－(－1)n.

4.设是公比不为 1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【解析】（1）设的公比为，由题设得即 .

所以解得（舍去）， .

故的公比为 .

（2）设为的前 n项和.由（1）及题设可得， .所以

，

可得

所以 .

5．【2021 年全国高考甲卷数学（文）】记为数列的前 n项和，已知，且数列

是等差数列，证明：是等差数列.

【答案】证明见解析.

【分析】

先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得

证.

【详解】

∵数列是等差数列，设公差为

∴ ，

∴当时，

当时，，满足，

∴ 的通项公式为，

∴

∴ 是等差数列.

【点睛】

在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.

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