专题04数列求和及综合应用测案【教师版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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数列求和及综合应用—测案

【满分：150 分时间：120 分钟】

一、单项选择题（12*5=60 分）

1.(2021·人大附中调研)在数列{an}中，已知 an＝n2＋λn，n∈N*，则“a1<a2”是“{an}是单调递增

数列”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若在数列{an}中，已知 an＝n2＋λn，n∈N*，a1<a2，则 1＋λ<4＋2λ，解得 λ>－3.

若数列{an}是单调递增数列，则对任意的 n∈N*都满足 an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋

1＋λ>0，

∴λ>－1－2n，即 λ>(－1－2n)max＝－3，

因此，“a1<a2”是“{an}是单调递增数列”的充要条件.

2.数列{an}满足 2an＋1＝an＋an＋2，且 a4，a4 040 是函数 f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，则 a2 022 的值为(

)

A.4 B.－4 C.4 040 D.－4 040

答案　A

解析　因为 a4，a4 040 是函数 f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，即 a4，a4 040 是方程 x2－8x＋3＝0的两个

根，所以 a4＋a4 040＝8.

又2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，

所以 a4＋a4 040＝2a2 022＝8，所以 a2 022＝4.

3.在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ}(n∈N*)的前 2 022 项的和为(

)

A.1 011 B.1 010 C.2 022 D.2 020

答案　C

解析　由题意得 a3＋a5＝2a4＝a4＋7，解得 a4＝7，

所以公差 d＝＝＝2，

则a1＝a4－3d＝7－3×2＝1，所以 an＝2n－1，

设bn＝ancos nπ，

则b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝－a1＋a2＝2，

b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝－a3＋a4＝2，……，

∴数列{ancos nπ}(n∈N*)的前 2 022 项的和

S2 022＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 021＋b2 022)

＝2×1 011＝2 022.

4.已知函数 f(n)＝且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a8等于(　　)

A.－16 B.－8 C.8 D.16

答案　C

解析　当n为奇数时，n＋1为偶数，

则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，

所以 a1＋a3＋a5＋a7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.

当n为偶数时，n＋1为奇数，

则an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，

则a2＋a4＋a6＋a8＝5＋9＋13＋17＝44，

所以 a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－36＋44＝8.

5.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，公差 d≠0，且≤1.记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下

列等式不可能成立的是(　　)

A.2a4＝a2＋a6 B.2b4＝b2＋b6

C.a＝a2a8 D.b＝b2b8

答案　D

解析　由题意，知 b1＝S2＝a1＋a2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，

可得 bn＝S2n－S2n－2＝a2n＋a2n－1(n>1，n∈N*).

由{an}为等差数列，知{bn}为等差数列.

由等差数列的性质，显然 A，B成立.

选项 C中，a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d.

由a＝a2a8，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，

化简得 a1d＝d2，

又由 d≠0，可得 a1＝d，符合≤1，C成立.

若b＝b2b8，则(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d).

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