专题04 三角函数图像性质与恒等变形-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 18 4 828.39KB 16 页 3知币
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专题 04 三角函数图像、性质与恒等变形
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】6.若
sin(α+β)+cos(α+β)=2❑
√
2 cos(α+π
4)sin β
，则
()
A.
tan (α+β)=−1
B.
tan(α+β)=1
C.
tan(α−β)=−1
D.
tan(α−β)=1
【答案】
C
【分析】 本题考查三角恒等变换的应用
法一：利用特殊值法，排除错误选项即可
法二，利用三角恒等变换，求出正确选项
【解答】 解法一：设
则
sin α+cos α=0
，取
α=3
4π
，排除
B
，
D
再取
α=0
则
sin β+cos β=2 sin β
，取
β=π
4
，排除
A ;
选 C ．
解法二：由
sin(α+β)+cos(α+β)=❑
√
2sin (α+β+π
4)=❑
√
2sin [(α+π
4)+β]
¿❑
√
2 sin(α+π
4)cos β+❑
√
2 cos(α+π
4)sin β
， 故
❑
√
2 sin(α+π
4)cos β=❑
√
2 cos(α+π
4)sin β
故
sin(α+π
4)cos β−cos (α+π
4)sin β=0
，即
sin(α+π
4−β)=0
，
故
sin(α−β+π
4)= ❑
√
2
2sin(α−β)+❑
√
2
2cos (α−β)=0
，
故
sin(α−β)=−cos(α−β)
，故
tan(α−β)=−1
．
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】记函数
f(x)=sin(ωx +π
4)+b(ω>0)
的最小正周期为
T .
若
2π
3<T<π
，且
y=f(x)
的图像关
于点
(3π
2,2)
中心对称，则
f(π
2)=¿
¿
A.
1
B.
3
2
C.
5
2
D.
3
【答案】
A
【分析】 本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题．
【解答】 解：由题可知：
T=2π
ω∈(2π
3, π )
，所以
ω∈(2,3)
．
又因为
y=f(x)
的图像关于点
(3π
2,2)
中心对称，所以
b=2
，且
f(3π
2)=sin(ω × 3π
2+π
4)+b=2
．
所以
ω=2
3(k−1
4)
，
k∈Z
，所以
ω=5
2.
所以
f(x)=sin(5
2x+π
4)+2.
所以
f(π
2)=1
．
（多选）已知函数
f(x)=sin (2x+φ)(0<φ<π)
的图象关于点
(2π
3,0)
对称，则
()
A.
f(x)
在
(0,5π
12 )
单调递减
B.
f(x)
在
(−π
12 ,11 π
12 )
有两个极值点
C. 直线
x=7π
6
是曲线
y=f(x)
的一条对称轴
D. 直线
y=❑
√
3
2−x
是曲线
y=f(x)
的一条切线
【答案】
AD
【解析】
【分析】
解： 由题意得：
f(2π
3)=sin(4π
3+φ)=0
，
所以
4π
3+φ=kπ
，即
φ=−4π
3+kπ
，
k∈Z
，
又
0<φ<π
，所以
k=2
时，
φ=2π
3
，
故
f(x)=sin (2x+2π
3).
选项 A
:x∈(0,5π
12 )
时，
2x+2π
3
∈(2π
3,3π
2)
，由
y=sinu
图象知
f(x)
在
(0,5π
12 )
单调递减
;
选项 B
:x∈(−π
12 ,11 π
12 )
时，
2x+2π
3
∈(π
2,5π
2)
，由
y=sinu
图象知
f(x)
在
(−π
12 ,11 π
12 )
有
1
个极
值点
;
选项 C
:
由于
f
(
7π
6
)
=sin 3 π=0
，故直线
x=7π
6
不是
f(x)
的对称轴
;
选项 D
:
令
f ' (x)=2cos
(
2x+2π
3
)
=−1
，得
cos (2x+2π
3)=−1
2
，
解得
2x+2π
3=2π
3+2kπ
或
2x+2π
3=4π
3+2kπ
，
k∈Z
，
从而得
x=kπ
或
x=π
3+kπ
，
k∈Z
，
令
k=0
，则
(
0,
❑
√
3
2
)
是斜率为
−1
的直线与曲线的切点，
从而切线方程为
y−❑
√
3
2=−(x−0)
，即
y=❑
√
3
2−x
．
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
.若实数
x
，
y
满足
x2+y2−xy=1
，则
()
A.
x+y ≤ 1
B.
x+y≥−2
C.
x2+y2≥1
D.
x2+y2≤2
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题考查三角恒等变换与正弦函数的值域
利用正余弦函数表示
x
，
y
，代入到
x+y
，
x2+y2
，再利用三角函数的性质判断选项即可
【解答】
解： 由
x2+y2−xy=1
得
¿
令
{
x−y
2=cos θ
❑
√
3
2y=sin θ
⇒
{
x=❑
√
3
3sin θ+cos θ
y=2❑
√
3
3sin θ
故
x+y=❑
√
3 sinθ+cos θ=2sin (θ+π
6)∈[−2,2]
，故 A 错，
B
对
;
x2+y2=¿
¿❑
√
3
3sin2 θ−1
3cos 2 θ+4
3=2
3sin(2θ−φ)+ 4
3
∈[2
3,2]¿
其中
tan φ=❑
√
3
3¿
，
故 C 对，
D
错．
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