专题04 曲线与方程-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

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专题 04 曲线与方程

一、曲线与方程的概念

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条

件的点的轨迹方程．

一个二元方程总可以通过移项写成 F(x，y)＝0的形式，其中 F(x，y)是关于 x，y的解析式．

在平面直角坐标系中，如果曲线 C与方程 F(x，y)＝0之间具有如下关系：

① 曲线

上点的坐标都是方程 F(x，y)＝0的解；

② 以方程 F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线

C上．

那么，方程 F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线 C叫做方程的曲线．

特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线 C

的点集和方程 F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程

的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适

合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应

关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．

二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤

求曲线的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M的坐标；

（2）写出适合条件 p的点 M的集合；

（3）用坐标表示条件 p(M)，列出方程；

（4）化方程为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方

程，但不在曲线上时，可通过限制方程中 x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省

略步骤（2），直接列出曲线方程．

三、代入法（相关动点法）求曲线方程的步骤

代入法(相关动点法)求轨迹方程：在一些问题中，动点满足的条件不宜直接用等式列出，但是动点

随另一动点(称之为相关点)的运动而变化．如果相关点所满足的条件是明显的，这时，我们可以用

动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程，即可求得动点的轨迹方程，这种求动点轨迹

方程的方法称为代入法(相关动点法)．

2．代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤：

技巧 1 曲线与方程的概念

例1、如果曲线 l上的点的坐标满足方程 F(x，y)＝0，则以下说法正确的是(　　)

A．曲线 l的方程是 F(x，y)＝0

B．方程 F(x，y)＝0的曲线是 l

C．坐标不满足方程 F(x，y)＝0的点不在曲线 l上

D．坐标满足方程 F(x，y)＝0的点在曲线 l上

[思路分析]　

从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断．

[规范解答]　

直接法：原说法写成命题形式即“若点 M(x，y)是曲线 l上的点，则 M点的坐标适合方程

F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若 M点的坐标不适合方程 F(x，y)＝0，则 M点不在曲线 l上”，故选

C．

特值法：作如图所示的曲线 l，考查 l与方程 F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然 A、B、D中的说

法全不正确．∴选 C．

点睛：

说明曲线 C是方程 F(x，y)＝0的曲线，方程 F(x，y)＝0是曲线 C的方程时，必须严格考察纯

粹性和完备性，即“多一点不行，少一点不可”．

技巧 2 方程的曲线

例2、方程 x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是(　C　)

A．前后两者都是一条直线和一个圆 B．前后两者都是两点

C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆

[规范解答]　

x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线 x＝0和圆 x2＋y2＝1.

x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔

⇔表示点(0,1)、(0，－1)．

点睛：　

判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，既

不能扩大也不能缩小变量的取值范围．

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