专题3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

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专题 3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】不等式证明 6：凸凹翻转型...........................................................................................................1

【题型二】不等式证明 7：三角函数与导数型...............................................................................................2

【题型三】不等式证明 8：极值点偏移（不含参）.......................................................................................2

【题型四】不等式证明 9：极值点偏移（含参）...........................................................................................3

【题型五】不等式证明 10：三个“极值点”（零点）型.............................................................................4

【题型六】不等式证明 11：比值代换（整体代换等）型 ...........................................................................4

【题型七】不等式证明 11：非对称型（零点值 x1 与x2 系数不一致）......................................................5

【题型八】不等式证明 12：韦达定理型.........................................................................................................6

【题型九】不等式证明 13：利用第一问构造（包括泰勒展开）.................................................................6

【题型十】不等式证明 14：含 ex 和lnx 型.....................................................................................................7

【题型十一】不等式证明 15：先放缩再证明型.............................................................................................7

【题型十二】不等式证明 16：切线放缩证明“两根差”型.........................................................................8

【题型十三】不等式证明 17：条件不等式证明.............................................................................................9

【题型十四】综合证明：x1 与x2 综合............................................................................................................9

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................10

【题型一】不等式证明 6:凹凸翻转型

【典例分析】

已知， .

（1）求函数的单调区间；

（2）对一切，恒成立，求实数 a的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立.

【提分秘籍】

基本规律

类型特征：

（1）特殊技巧；

（2）分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。

【变式演练】

1.已知．

（1）求函数的极值；

（2）证明：对一切，都有成立．

2.已知函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明： .

【题型二】不等式证明 7：三角函数与导数不等式

【典例分析】

已知函数，，．

（1）若在上单调递增，求 a的最大值；

（2）当 a取（1）中所求的最大值时，讨论在 R上的零点个数，并证明．

【提分秘籍】

基本规律

1.证明思路和普通不等式一样。

2.充分利用正余弦的有界性

【变式演练】

1.设函数 .

（1）求的极值点；

（2）设函数 .证明： .

2.已知函数

（1）若，成立，求实数的取值范围;

（2）证明：有且只有一个零点，且．

【题型三】不等式证明 8：极值点偏移之不含参型

【典例分析】

.已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．

【提分秘籍】

基本规律

1.求出函数

f(x)

的极值点

；

2.构造一元差函数

F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)

；

3.确定函数

F(x)

的单调性；

4.结合

F(0)=0

，判断

F(x)

的符号，从而确定

f(x0+x)

、

f(x0−x)

的大小关系

【变式演练】

1.已知函数 .

（1）当时，判断在区间上的单调性；

（2）当时，若，且的极值在处取得，证明：

2.已知函数 .（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明： .

【题型四】不等式证明 9：极值点偏移之含参型

【典例分析】

已知函数的两个零点为．（1）求实数 m的取值范围；

（3）求证：．

【提分秘籍】

基本规律

1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；

2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

【变式演练】

1..已知函数 .

（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：；

（3）设函数的两个零点、，求证： .

2.已知函数 .（1）若 f（1）=2，求 a的值；

（2）若存在两个不相等的正实数，满足，证明：

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