专题2.6 特殊与一般思想中的五种题型 （三角函数与解三角形、数列、不等式、解析几何、计数原理）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）（解析版）

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2022 年高考数学考前 30 天迅速提分复习方案（新高考地区专用）
专题 2.6 特殊与一般思想中的五种题型
（三角函数与解三角形、数列、不等式、解析几何、计数原理）
题型一：三角函数与解三角形
一、填空题
1．（2021·重庆·模拟预测）若函数 的图象在 内有且只有两
条对称轴，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】求出函数图象的对称轴的一般形式，再根据其所在的范围可求 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，其中 .
由题设可得：存在整数 ，使得 ，
由 可得 ，结合 可得 ，
故 即 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：对于含参数的余弦型函数（正弦型函数），如果知道它在给定范围上的
单调性或对称轴的条数、零点的个数等，一般是求出性质的一般形式，再把存在性问题转化
为不等式的整数解问题，确定出整数的取值后可求参数的取值范围.
二、解答题
2．（2009·重庆·高考真题（理））设函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时 的最大
值．
【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）
【详解】解：（Ⅰ） =
= =
故 的最小正周期为 T = =8
(Ⅱ)解法一：在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点 .
　　由题设条件，点 在 的图象上，从而
= =
当 时， ，因此 在区间 上的最大值为　　　
;
解法二：因区间 关于 x = 1 的对称区间为 ，且 与 的图象关于
x = 1 对称，故 在 上的最大值为 在 上的最大值.
由（Ⅰ）知 ＝
当 时， ,因此 在 上的最大值为　　　　　
3．（2021·全国·高三专题练习）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据 ，求解 ，可以想到
，
可以得到 ，然后继续将次数增加，由
，可以得到：
，进而求出 ，由此发现 可以由
和 进行递推.现在我们可以考虑一般性， 可以由
进行递推，最后得到答案.
【详解】设 ．由 得 ．
，
．
．
又 ， ．
．
以此类推： ， ，
即 ．
【点睛】首先本题采用了递推法解决问题，不要过多纠结试题的做法，而要思考解决问题的
方向，在对式子的变形中，逐渐发现由一次方可以推理二次方，再推理三次方，……；其次，
其实可以由此继续推理下去，很容易得到五次方，可是问题在于，在解决问题的过程当中发
现了相邻三个次方的式子之间具有递推关系，故而在具体求解的时候没有将问题特殊化，用
了通用的解法，基于此种考虑，这个试题可以求解
n
次方.
题型二：数列
一、单选题
1．（2020·河南·模拟预测（理））已知等差数列 的首项是 2，公差为 ，且
中有一项是 14，则 的取值的个数为（øøøøøøø）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【解析】根据等差数列的通项公式有 ，由 12 作因数分解可得 6 个整数，即为 的
可能取值.
【详解】等差数列 的首项是 2，公差为 ，有一项是 14，
∴设第
n
项为 14，有 ，即 ，
又 知： ， ，而
∴的取值有 ，
故选：C
【点睛】本题考查了等差数列，由等差数列通项公式,结合数列中 即可确定所求参数
的可能取值.
2．（2019·浙江·一模）记是各项均为正数的等差数列 的前 项和，若 ，则
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