专题2.2 八种题型中的函数与方程思想 -2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用））（解析版）

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2022 年高考数学考前 30 天迅速提分复习方案（新高考地区专用）
专题 2.2 八种题型中的函数与方程思想
题型一：导数及其应用
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若函数 有三个极值点，
则实数 的取值范围为（IIIIIII）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】要使 有三个极值点，则 有三个变号实根，转化为方程 有两
个不等于 1 的变号实根，令 ，通过研究 的最小值可得 的取值范围.
【详解】 ，求导，得 ，
令 ，得 ，或 .
要使 有三个极值点，则 有三个变号实根，
即方程 有两个不等于 1 的变号实根.
，令 ，
则 ，令 ，得 .
易知 ，且 ， ； ， .
所以，当 时，方程 即 有两个变号实根，
又 ，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于把“ 有三个极值点”转化为方程“方程
有两个不等于 1 的变号实根”.
2．（2021·江西宜春·模拟预测（理））已知函数 ，若对于任意的 ，
函数 在 内都有两个不同的零点，则实数 的取值范围为
（IIIIIII）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，函数 在 内都有两个不同的零点，等
价于方程 在 内都有两个不同的根，利用导数可得，当 时，
是增函数，当 时， 是减函数，从而可得 ，令
，分析得 在 有解，且易知只能有一个解，然后可判断出
函数 的增减区间，从而得 ，由此可求出 的取值范围
【详解】函数 在 内都有两个不同的零点，等价于方程
在 内都有两个不同的根． ，所以当
时， ， 是增函数；当 时， ， 是减函数，因此
．
设 ， ，
若 在 无解，则 在 上是单调函数，不合题意；所以 在
有解，且由两根之积为负，可知只能有一个解．设其解为 满足 ，当
时 ， 在 上是增函数；当 时 ， 在 上是
减函数．
因为任意的 方程 在 有两个不同的根，所以
②
① ，所以 ．因为 ，所以
，
代入 ，得 ．设 ， ，所以
在 上是增函数，而 ，由 可得 ，得 ．
由 在 上是增函数，得 ．综上所述 ，
故选：A．
【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化
思想，属于难题.
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知 ，过点 可以作曲线 的三条切线，则
（IIIIIII）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用导数求出切线方程，可得关于 的方程 有三个不同的解，再利用
导数求解即可.
【详解】设切点为 ，
因为 ，即 ，
切线方程为 ，
所以 ，即 ，
因为过点 可以作曲线 的三条切线，
所以，关于 的方程 有三个不同的解.
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 和 上单调递减，且值域为 R，
所以 ，即 .
故选：BC
【点睛】关键点点睛：应用导数的几何意义求切线方程，结合函数与方程思想研究
与 有三个不同交点情况.
三、填空题
4．（2020·四川雅安·三模（理））设点 为函数 与
的图像的公共点，以 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数 的最大值为_______.
【答案】
【解析】设出点
P
的坐标，利用
P
为两函数曲线的切点，过点
P
的切线相同，列出方程组求
得切点
P
,从而求出的解析式，再利用函数的性质求实数
b
的最大值.
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