专题2 球的内接外切问题（原卷版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

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a
b
c
长方体
1
O
O
V
A
B
C
正四面体
a
a
正方体
专题 2：球的内接外切问题（原卷版）
几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，
再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
几何体的外接球问题你通常会想到：
①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。
这类题 80%以上都不用画图，只需要 2步搞定：
①识别模型→②代入公式，就可以轻松求出外接球半径 R
常见几何体的外接球半径：
例1．已知正方体 棱长为 2，点 是上底面 内一动点，若三棱
锥 的外接球表面积恰为 ，则此时点 构成的图形面积为________.
例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（
）
A．10 B．20 C．24 D．32
例3．在直三棱柱 中， ， ， ， ，则
该直三棱柱的外接球体积为______.
3
2
R a
2 2 2
2
a b c
R 
6
4
R a
A
B
C
1
A
1
B
1
C
模型一——圆柱外接球模型
一个底面半径为 r，高为 h的圆柱，求它的外接球半径.
变形一：
如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示：
我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外
接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中的 h，
而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的 r
例4，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 acm，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例5．在直三棱柱 中， ， ， ，若该三棱柱的
外接球表面积为 ，则三棱柱的高为（ ）
A
B
C
1
A
O
1
O
A
B
C
1
A
1
B
1
C
A
B
C
1
A
1
B
A
B
C
1
A
1
B
1
C
A．2B．C．4D．
变形二：
如果把上面的那个三棱柱上面的 B1,C1两点去掉我们将得到右图三棱锥：
例6．已知 A､B､C､D为同一球面上的四个点.在△ABC 中， ，
；AD=6，⊥平面 ，则该球的体积为___________.
变形三
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