专题2 球的内接外切问题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

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a
b
c
长方体
1
O
O
V
A
B
C
正四面体
a
a
正方体
专题 2：球的内接外切问题（解析版）
几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，
再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
几何体的外接球问题你通常会想到：
①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。
这类题 80%以上都不用画图，只需要 2步搞定：
①识别模型→②代入公式，就可以轻松求出外接球半径 R
常见几何体的外接球半径：
例1．已知正方体 棱长为 2，点 是上底面 内一动点，若三棱
锥 的外接球表面积恰为 ，则此时点 构成的图形面积为________.
【答案】 .
【分析】
设三棱锥 的外接球为球 ，分别取 、 的中点 、 ，先确定球心
在线段 和 中点的连线上，先求出球 的半径 的值，然后利用勾股定理求出
的值，于是得出 ，再利用勾股定理求出点 在上底面轨迹圆的半
3
2
R a
2 2 2
2
a b c
R 
6
4
R a
径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，设三棱锥 的外接球为球 ，
分别取 、 的中点 、 ，则点 在线段 上，
由于正方体 的棱长为 2，
则 的外接圆的半径为 ，
设球 的半径为 ，则 ，解得 .
所以， ，
则
而点 在上底面 所形成的轨迹是以 为圆心的圆，
由于 ，所以 ，
因此，点 所构成的图形的面积为 .
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中
档题.
例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（
）
A．10 B．20 C．24 D．32
【答案】C
【分析】
各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即
可求解.
【详解】
因为正四棱柱高为 4，体积为 16，
所以正四棱柱的底面积为 ，正四棱柱的底面的边长为 ，
正四棱柱的底面的对角线为 ，
正四棱柱的对角线为 ，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即 ， ,
故选：C
例3．在直三棱柱 中， ， ， ， ，则
该直三棱柱的外接球体积为______.
【答案】
【分析】
由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出
底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积.
【详解】
在 中，由余弦定理得 ，得 .
所以 的外接圆半径 .
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