专题02解三角形-测案【教师版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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解三角形—测案

【满分：150 分时间：120 分钟】

一、单项选择题（12*5=60 分）

1.（2021·全国甲卷）在△ABC 中，已知 B＝120°，AC＝，AB＝2，则 BC＝（　　）

A.1 B. C. D.3

答案　D

解析　法一　由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得 BC2＋2BC－15＝0，解得 BC＝3

或BC＝－5（舍去）.故选 D.

法二　由正弦定理＝，得 sin C＝＝，从而 cos C＝（C是锐角），所以 sin A ＝sin [π－（B＋C）]

＝sin （B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝.又＝，所以 BC＝＝3.故选 D.

2.已知 sin θ＋sin＝1，则 sin＝（　　）

A. B. C. D.

答案　B

解析　因为 sin θ＋sin＝sin＋sin＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sincos ＝sin＝1，所以 sin

＝.故选 B.

3.（2021·贵阳质检）在△ABC 中，若 asin B＝c－bcos A，则 B＝（　　）

A. B. C. D.

答案　B

解析　由asin B＝c－bcos A及正弦定理，

得sin Asin B＝sin C－sin Bcos A，

又sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，

则sin Asin B＝sin Acos B，

∵sin A≠0，

∴＝tan B＝，得 B＝.

4.（2021·合肥模拟）在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin

Ccos A，则角 A的最大值为（　　）

A. B. C. D.

答案　A

解析　因为 asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，

由正弦定理可得，a2＋2c2＝2bccos A，①

由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，②

①＋②得 2a2＝b2－c2，

∴cos A＝＝＝.

又b2＋3c2≥2＝2bc，当且仅当 b＝c时取等号，

所以 cos A≥＝，

所以角 A的最大值为.

5.在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 A，B，C成等差数列，a＋c＝2，则 b的

取值范围是（　　）

A.[1，2） B.（0，2]

C.[1，] D.[1，＋∞）

答案　A

解析　在△ABC 中，由 A，B，C成等差数列，得 2B＝A＋C.

由A＋B＋C＝π，得 3B＝π，B＝.

由余弦定理，得

b2＝a2＋c2－2ac×＝（a＋c）2－3ac＝4－3ac，

又3ac≤（a＋c）2＝3，当且仅当 a＝c＝1时等号成立，即 0<ac≤1.

∴1≤4－3ac<4，即 1≤b2<4，解得 1≤b<2.

6.（2021·全国甲卷） 2020 年12 月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8

848.86（单位：m）.三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示

意图，现有 A，B，C三点，且 A，B，C在同一水平面上的投影 A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝

45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得 B点的仰角为 15°，BB′与CC′的差为 100；由 B点测得 A点的仰

角为 45°，则 A，C两点到水平面 A′B′C′的高度差 AA′－CC′约为（≈1.732）（　　）

A.346 B.373 C.446 D.473

答案　B

解析　如图所示，根据题意过 C作CE∥C′B′，交 BB′于E，过 B作BD∥A′B′，交 AA′于D，则 BE

＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，则 BD＝A′B′＝，又

在B点处测得 A点的仰角为 45°，所以 AD＝BD＝，所以高度差 AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋

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