专题1.5《立体几何初步》（精讲篇）--【备战期末】《2021-2022学年高一下期末数学复习提升讲练》（新高考·2019版新教材）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 17 4 1.63MB 32 页 3知币
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专题 1.5《立体几何初步》（精讲篇）
（一）多面体的结构特征
多面体 结构特征
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
（二）旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
（三）简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部
分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
（四）空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的 x轴、y轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，
两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于 x轴、y轴的线段，在直观图中平
行于 x′轴、y′轴．已知图形中平行于 x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y轴的线段，长度变为
原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过 O点作 z轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z′轴，也垂直于 x′O′y′平面，已知图
形中平行于 z轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变．
（五）几何体的表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积 ；圆锥的侧面积 ；圆锥的表面积
rlS
2
)(2 lrrS
rlS
)( lrrS
圆台的侧面积 ；圆台的表面积 ；球体的表面积
（六）几何体的体积
圆柱的体积 ；圆锥的体积 ；圆台的体积
球体的体积 ；正方体的体积 ；正方体的体积
（七）平面的基本性质
(1)公理 1：
(2)公理 2：
(3)公理 3：
推论 1：
推论 2：
推论 3：
（八）空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类：
直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
平行公理：
等角定理：
（九）异面直线所成的角
异面直线所成的角
① 定义：设
a
，
b
是两条异面直线，经过空间任一点
O
作直线
a
′∥
a
，
b
′∥
b
，把
a
′与
b
′所成的锐角或
直角叫作异面直线
a
，
b
所成的角(或夹角)．
② 范围： .
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点
A
与平面内一点
B
的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
（十）空间平行关系
1.直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
lrrS )(
)(
22
rllrrrS
2
4RS
hrV
2
hrV
2
3
1
)(
3
1
22
rrrrhV
3
3
4RV
3
aV
abcV
]
2
,0(
条件
a
∩
α
＝∅
a
⊂
α
，
b
⊄
α
，
a
∥
ba
∥
αa
∥
α
，
a
⊂
β
，
α
∩
β
＝
b
结论
a
∥
α b
∥
αa
∩
α
＝∅
a
∥
b
2. 面面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件
α
∩
β
＝∅
a
⊂
β
，
b
⊂
β
，
a
∩
b
＝
P
，
a
∥
α
，
b
∥
α
α
∥
β
，
α
∩
γ
＝
a
，
β
∩
γ
＝
b
α
∥
β
，
a
⊂
β
结论
α
∥
β α
∥
β a
∥
b a
∥
α
3.判断或证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(
a
⊄
α
，
b
⊂
α
，
a
∥
b
⇒
a
∥
α
)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线
平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(
α
∥
β
，
a
⊂
α
⇒
a
∥
β
)；
利用面面平行的性质(
α
∥
β
，
a
⊄
β
，
a
∥
α
⇒
a
∥
β
)．
（十一）空间垂直关系
1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
2.定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定
定理
如果一条直线和一个平
面内的两条相交直线都
垂直，那么该直线与此
平面垂直.
性质
定理
如果两条直线同垂直于
一个平面，那么这两条
直线平行.
⇒
a
∥
b
3.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
4.定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判
定
如果一个平面经过另
一个平面的一条垂
线，那么这两个平面
⇒
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