专题1.4《复数》（精讲篇）--【备战期末】《2021-2022学年高一下期末数学复习提升讲练》（新高考·2019版新教材）（解析版）

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专题 1.4《复数》（精讲篇）
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)的数叫复数，其中
a
，
b
分别是它的实部和虚部．若
b
＝0，则
a
＋
b
i 为实数；若
b
≠0，则
a
＋
b
i 为虚数；若
a
＝0 且
b
≠0，则
a
＋
b
i 为纯虚数．
一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0.
(2)复数相等：
a
＋
b
i＝
c
＋
d
i⇔
a
＝
c
且
b
＝
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)．
(3)共轭复数：
a
＋
b
i 与
c
＋
d
i 共轭⇔
a
＝
c
，
b
＝－
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)．
(4)复数的模：
向量OZ的模
r
叫做复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)的模，记作|
z
|或|
a
＋
b
i|，即|
z
|＝|
a
＋
b
i|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数
z
＝
a
＋
b
i 复平面内的点
Z
(
a
，
b
)(
a
，
b
∈R)．
(2)复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R) 平面向量OZ.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设
z
1＝
a
＋
b
i，
z
2＝
c
＋
d
i(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)，则
① 加法：
z
1＋
z
2＝(
a
＋
b
i)＋(
c
＋
d
i)＝(
a
＋
c
)＋(
b
＋
d
)i；
② 减法：
z
1－
z
2＝(
a
＋
b
i)－(
c
＋
d
i)＝(
a
－
c
)＋(
b
－
d
)i；
③ 乘法：
z
1·
z
2＝(
a
＋
b
i)·(
c
＋
d
i)＝(
ac
－
bd
)＋(
ad
＋
bc
)i；
④ 除法：＝＝＝＋i (
c
＋
d
i≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设
z
1，
z
2，
z
3∈C，则复数加法满足以下运算律：
① 交换律：
z
1＋
z
2＝
z
2＋
z
1；
② 结合律：(
z
1＋
z
2)＋
z
3＝
z
1＋(
z
2＋
z
3)．
4．常用结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；
(5) ；(6) .
5．复数的三角形式、运算及其几何意义
（1）复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数 z＝a＋bi都可以表示成 r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数 z的模；θ是以 x轴
的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi的辐角，我们规定在 0≤θ＜
2π 范围内的辐角 θ的值为辐角的主值，通常记作 arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数 z＝a＋bi的三角表示式，
简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
（2）复数三角形式的乘、除运算
若复数 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z1≠z2，则
①z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
②＝
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐
角所得的差.
一、命题规律
命题的考查重点有：
（1）复数的概念
（2）复数的四则运算
（3）复数的几何意义.
二、真题展示
1．（2020·海南·高考真题） =（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
1 2 1 2
z z z z  
1 2 1 2
z z z z  
2 2
z z z z 
1 2 1 2 1 2
z z z z z z  
1 2 1 2
z z z z 
1
1
2 1
z
z
z z
(1 2 )(2 )i i 
4 5i
5i
-5i
2 3i
直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
2．（2021·江苏·高考真题）若复数 满足 ，则 的虚部等于（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算性质，化简得出 .
【详解】
若复数 满足 ，则
，
所以 的虚部等于 .
故选：C.
3．（2021·全国·高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，
故选：A.
2
(1 2 )(2 ) 2 4 2 5i i i i i i  
z
 
1 i 3 iz  
z
1 2z i 
z
 
1 i 3 iz  
 
  
3 i 1 i
3 i 1 2i
1 i 1 i 1 i
z 
 
 
z2
2 i
1 3i
2 i
1 3i
 
2 i 1 3i
2 i 5 5i 1 i
1 3i 10 10 2
 
 
 
1 1
,
2 2
 
 
 
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