专题1.3《正弦定理、余弦定理》（精讲篇）--【备战期末】《2021-2022学年高一下期末数学复习提升讲练》（新高考·2019版新教材）（解析版）

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专题 1.3《正弦定理、余弦定理》（精讲篇）

1．正弦定理

正弦定理：＝＝＝2R，其中 R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．

面积公式 S＝absin C＝bcsin A＝acsin B

2．余弦定理

余弦定理：，， .

变形公式 cos

＝，cos

＝，os

＝

3．实际问题中的有关概念

(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

(如图 1)．

(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图 2)．

(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图 3)

① 北偏东 α°即由指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向．

② 北偏西 α°即由指北方向逆时针旋转 α°到达目标方向．

③ 南偏西等其他方向角类似．

(4)坡度：

① 定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4，角 θ为坡角)．

② 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4，i为坡比)．

4.牢记三角形中的六个常见结论

2 2 2

2 cosa b c ab C  

2 2 2

2 cosb c a ac A  

2 2 2

2 cosc a b ac B

(1) A +B+ C  ； (2)大边对大角，大角对大边，如 a b  A B sinA sinB；(3)任意两边

之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 (4)有关三角形内角的三角函数关系式：

；（5）在△ABC 中，内角

A，B，C 成等差数列（*选修内容中学习）；(6)在斜△ABC 中，

．

一、命题规律

1.正弦定理或余弦定理独立命题；

2.正弦定理与余弦定理综合命题；

3.与三角函数、三角恒等变换结合命题；

4.考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合

考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换

等其它结合考查.

二、真题展示

1．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若

，且，则等于（）

A．3 B．C．3或D．-3 或

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后

利用两角和的正切公式，即可得到答案；

ABC

2 2 2

sina b c ab C  

sin cos a B C

sin cos 2

c B A b

tan A

1



tan 2C



2 2

sin( ) sin

2 2

A C B   

【详解】

，，

，

，，

，

故选：A.

2．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是

测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高

度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的

差”则海岛的高（）

A．表高 B．表高

C．表距 D．表距

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．

【详解】



2 2 2

sin

cos tan 2

2 2

a b c C

C C

 

   



 

sin sin sin

a b c R

A B C

  

sin sin cos sin sin cos sin

A B C C B A B      

2 2

sin( ) sin

2 2

A C B    



 

tan 1B 



tan tan

tan tan( ) 3

1 tan tan

B C

A B C B C



     

 

AB 



表高表距

表目距的差



表高表距

表目距的差



表高表距

表目距的差

表高表距 -

表目距的差

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