专题1.2《平面向量》（精讲篇）--【备战期末】《2021-2022学年高一下期末数学复习提升讲练》（新高考·2019版新教材）（原卷版）

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专题 1.2《平面向量》（精讲篇）
1.概念:
(1)零向量的模为 0，方向为任意的，且与任意非零向量都共线. (2)与 共线的单位向量为 . (3)方向
相同或相反的向量叫共线向量(或平行向量). （4）相反向量：长度相等且方向相反的向量．
(5)向量的夹角:已知非零向量 和 ，作 ， ，则 叫 向量 与
的夹角. (6)向量的投影:设向量 和 的夹角为，则 叫 在 方向上的投影.
2.线性运算:
加法:三角形法则、平行四边形法则；减法:三角形法则；数乘向量.
3.平而向量的线性运算技巧：
(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.
(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用 相等向量、相反向量、三角形的中位线
等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解。
4.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.
(3)比较，观察可知所求.
5.平面向量共线定理的三个应用：
(1)证明向量共线:对于非零向量 与 若存在实数 ，使 =，则 与 共线.
(2)证明三点共线:若存在实数 ，使 ， 与 有公共点 A，则 A，B，C 三点共线.
(3)求参数的值:利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
6.平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对于平面内的一个向
,i j
量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 ，这样，平面内的任一向量 都
可由 x、y唯一确定，因此把 叫做向量 的坐标，记作 ，其中 x叫做 在 x轴上的坐标，y
叫做 在 y轴上的坐标．
(2)若 ，则 ．
7．平面向量的坐标运算
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ．
(3)设 ，则 ， .
8．平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若 ，则 ⇔.
9．数量积的坐标运算
设
a
＝(
a
1，
a
2)，
b
＝(
b
1，
b
2)，则：
（1）
a
·
b
＝
a
1
b
1＋
a
2
b
2.
（2）
a
⊥
ba
1
b
1＋
a
2
b
2＝0.
（3）|
a
|＝.
（4）cos
θ
＝ ＝ .(
θ
为
a
与
b
的夹角)
10.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　 a ∥ b ⇔ a
＝ λ b ( 或
x 1y2－ x 2y1＝ 0) 　 ．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直
的条件：　 a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0( 或
x 1x2＋ y 1y2＝ 0) 　 ．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式　 cos θ ＝ 　 ．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量
用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
a
a x yi j＝ ＋
a
( , )x y
a
( , )a x y
a
a
1 1 2 2
( ) ( )A x y B x y， ， ，
2 1 2 1
( )A x x y yB＝ － ， －
1 1 2 2
( ) ( )a x y b x y ， ， ，
1 2 1 2
( )a b x x y y  ，
( )a x y＝ ，
( )a x y
 
＝ ，
1 1 2 2
( ) ( )A x y B x y， ， ，
2 1 2 1
( )A x x y yB＝ － ， －
2
2 1 2
2
1
| ( )A x x yB y＝ － (－| )
1 1 2 2
( ) ( )a x y b x y ， ， ，
a b∥
1 2 2 1
0x y x y -
| || |
a b
a b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a b a b
a a b b
 
一、命题规律
1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数等其它知
识问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.
2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．
二、真题展示
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量 ， 的夹角为 60°，则在下列向量中，与 垂直的是
（ ）
A．B．C． D．
3．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（2021·全国·高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________．
6．（2021·全国·高考真题（文））若向量 满足 ，则 _________.
ABCD
E
F AB
BC
AB a

AD b

EF

 
1
2a b
 
1
2a b
 
1
2b a
a
b
b
2a b
 
2a b
 
2a b
 
2a b
 
a
b
| | 5a
| | 6b
6a b  
cos , =a a b  
 
31
35
19
35
17
35
19
35
, ,a b c
 
a c b c  
 
a b
 
 
2,5 , , 4a b
 
 
//a b
r r
,a b
 
3, 5, 1a a b a b  
 
b
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