专题01三角函数-讲案【解析版】（文科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 01　三角函数及图象与性质（讲案）（文）
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三
角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考
查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题
或解答题其中一问的形式考查.
1．【2021 年新高考Ⅰ卷理数】若
tan 2
 
，则
 
sin 1 sin 2
sin cos
 
 
（ ）
A．
6
5
B．
2
5
C．
2
5
D．
6
5
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(
2 2
1 sin cos
 
 
)，进行齐次化处理，
化为正切的表达式，代入
tan 2
 
即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
 
 
 
2 2
sin sin cos 2sin cos
sin 1 sin 2 sin sin cos
sin cos sin cos
 
   
   
 
 
 
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用
tan 2
 
，求出
sin ,cos
 
的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
2．【2021 年新高考Ⅰ卷理数】下列区间中，函数
 
7sin 6
f x x
 
 
 
 
单调递增的区间是（ ）
A．
0, 2
 
 
 
B
,
2
ππ
 
 
 
．C．
3
,2
 
 
 
D．
3, 2
2
 
 
 
【答案】A
【分析】解不等式
 
2 2
2 6 2
k x k k Z
 
 
 
，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数
siny x
的单调递增区间为
 
2
2 , 2 2
k k k Z
 
 
 
 
 
 
，
对于函数
 
7sin 6
f x x
 
 
 
 
，由
 
2 2
2 6 2
k x k k Z
 
 
   
，
解得
 
2
2 2
3 3
k x k k Z
 
 
 
，
取
0k
，可得函数
 
f x
的一个单调递增区间为
2
,
3 3
 
 
 
 
，
则
2
0, ,
2 3 3
 
 
 
 
 
，
2
, ,
2 3 3
 
 
 
 
 
，A选项满足条件，B不满足条件；
取
1k
，可得函数
 
f x
的一个单调递增区间为
5 8
,
3 3
 
 
 
 
，
3 2
, ,
2 3 3
 
 
 
 
 
且
3 5 8
, ,
2 3 3
 
 
 
 
，
3 5 8
, 2 ,
2 3 3
 
 
 
 
，CD 选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
 
siny A ωx φ 
形式，再求
 
siny A ωx φ 
的单调区间，只需把
x
 
看作一个整体代入
siny x
的相应单调区间内即可，注意要先
把
化为正数．
3．【2021·全国Ⅰ卷真题（理）】把函数
( )y f x
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移
3
个单位长度，得到函数
sin 4
y x
 
 
 
 
的图像，则
( )f x
（ ）
A．
7
sin 2 12
x x
 
 
 
B．
sin 2 12
x
 
 
 
C．
7
sin 2 12
x
 
 
 
D．
sin 2 12
x
 
 
 
【答案】B
【分析】解法一：从函数
( )y f x
的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
23
y f x
 
 
 
 
 
 
 
，
即得
2 sin
3 4
f x x
 
 
   
 
   
 
   
 
，再利用换元思想求得
( )y f x
的解析表达式；
解法二：从函数
sin 4
y x
 
 
 
 
出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
( )y f x
的解析表达
式.
【详解】解法一：函数
( )y f x
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到
(2 )y f x
的
图象，再把所得曲线向右平移
3
个单位长度，应当得到
23
y f x
 
 
 
 
 
 
 
的图象，
根据已知得到了函数
sin 4
y x
 
 
 
 
的图象，所以
2 sin
3 4
f x x
 
 
   
 
   
 
   
 
，
令
23
t x
 
 
 
 
,则
,
2 3 4 2 12
t t
x x
 
   
,
所以
 
sin 2 12
t
f t
 
 
 
 
,所以
 
sin 2 12
x
f x
 
 
 
 
；
解法二：由已知的函数
sin 4
y x
 
 
 
 
逆向变换，
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