专题01 椭圆及其性质-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

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专题 01 椭圆及其性质

一、椭圆的概念

平面内与两个定点 F1、F2的距离的__和__等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的__焦点__，__两焦点__间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F1F2|时轨迹为

__线段

F 1F2__，当常数小于|F1F2|时，轨迹__不存在__.

二、椭圆的标准方程

椭圆的标准方程有两种形式：

（1）焦点落在 x轴上的椭圆的标准方程为 (a＞b＞0)，焦点为 F1 (－c，0)，F2 (c，0)，

焦距为 2c，且 b2＋c2，如图 1所示；

（2）焦点落在 y轴上的椭圆的标准方程为 (a＞b＞0)，焦点为 F1 (0，－c)，F2 (0，c)，

焦距为 2c，且 b2＋c2，如图 2所示．

图1 图2 图3

注：椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图 3记忆．正数

a，b，c恰好构成一个直角三角形，其中 a是斜边，所以 a＞b，a＞c且，其中 c是焦

距的一半．对于图 2中的椭圆，关系式 a＞b，a＞c且也始终成立．

三、椭圆的几何性质

标准方程＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)

图形

性

质

焦点 __F1( － c, 0) ， F 2( c, 0) __ __F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ) __

焦距 |F1F2|＝2c(c＝) |F1F2|＝2c(c＝)

范围 __| x |≤ a ， | y |≤ b __ __| x |≤ b ， | y |≤ a __

对称性关于__x

轴、 y

轴和原点 __对称

顶点 __(± a, 0) ， (0 ， ± b ) __ __(0 ， ± a ) ， (± b, 0) __

轴长轴长__2 a __，短轴长__2 b __

离心率 e＝____　(0<e<1)

注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标

准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.

求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者

根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程

或不等式求解离心率的值或取值范围.

四、离心率对椭圆扁圆程度的影响

如图所示，在 Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记 e＝则 0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；

e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．

五、椭圆的其他方程形式

(1)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)．

方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点在 x轴上和焦点在 y轴上两种情况，方

程可变形为＋＝1.① 当>，即 B>A时，表示焦点在 x轴上的椭圆；②当<，即 B<A时，表示焦点在 y

轴上的椭圆．

(2)椭圆的一般方程．当 ABC≠0 时，方程 Ax2＋By2＝C可以变形为＋＝1，由此可看出方程 Ax2

＋By2＝C表示椭圆的充要条件是 ABC≠0，且 A，B，C同号，A≠B.此时称方程 Ax2＋By2＝C为椭圆

的一般方程．

(3)共焦点的椭圆系方程．与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－

b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－b2)．

技巧 1 椭圆的定义

例1、已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A内一定点 B(3,0)，圆 P过B且与圆 A内切(如图所示)，求圆

心P的轨迹方程．

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